矩阵决策法 – 12Reads管理百科

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矩阵决策法的基本要素

1.状态变量：指可能影响决策后果的各种客观外界情况或自然状态．是不可控因素，记为:

$\mathbf{x_j(j=1,2,....,n),}$ 并设 $\mathbf{X=\mid x_1,x_2,....,x_n \mid}$ 为所有自然状态的集合。

2.决策变量：指决策者所采取的各种行动方案,是可控因素。记为: $\mathbf{A_i(i=1,2,....,m)}$ ,并设 $\mathbf{A={A_1,A_2,....A_m}}$ 为所有方案的集合。

3.概率：指各种自然状态出现的概率。记为: $\mathbf{P(x_j)}$ 且 $\mathbf{0\le P(x_j) \le1}$ , $\sum_{j=1}^n p(x_j=1)$

其中 $\mathbf{P(x_j)}$ 可以是先验概率，也可以是后验概率。

4.损益值：在第j种自然状态下选取第种方案所得结果的损益值，记为: $\mathbf{V_{i,j}}$ 。

矩阵决策法的求解方法

由实际问题给出的条件列出矩阵决策表。一般情况下，是将上述四要素列表如下表:

Image:各种行动方案对不同状态的损益值.jpg

由表l所给的具体数据，利用期望公式: $\mathbf{E(A_i)=}$ $\sum_{j=1}^n V_{i,j}p(x_j)$

令 $B=\begin{bmatrix} V_11 & \cdots & V_1n \\ \vdots & \ddots & \vdots \\ V_m1 & \cdots & V_mn\end{bmatrix}$ , $P=\begin{Bmatrix} p(x_1) \\ p(x_2) \\ ... \\ p(x_n) \end{Bmatrix}$ , $E(A)=\begin{Bmatrix} E(A_1) \\ E(A_2) \\ ... \\ E(A_n) \end{Bmatrix}$ 。

则有 $E(A)=BP=\begin{bmatrix} V_11 & \cdots & V_1n \\ \vdots & \ddots & \vdots \\ V_m1 & \cdots & V_mn\end{bmatrix}\begin{Bmatrix} p(x_1) \\ p(x_2) \\ ... \\ p(x_n) \end{Bmatrix}=\begin{Bmatrix} \sum_{j=1}^n V_{1,j}p(x_j) \\ \sum_{j=1}^n V_{2,j}p(x_j) \\ ... \\ \sum_{j=1}^n V_{m,j}p(x_j) \end{Bmatrix}$

利用最优期望准则公式 $E(A_1)=\max \mid E(A_1),E(A_2),......,E(A_m) \mid$ ，确定最优行动方案。

当我们利用公式(1)计算出各行动方案的期望值后，加以比较．再由决策目标要求选择期望值最大(或最小)的行动方案为最优方案。如果表1中的 $\mathbf{V_{i,j}}$ ,是收益值．且决策目标使收益最大，则期望值最大的为最优行动方案；如果 $\mathbf{V_{i,j}}$ ,决策目标是使损失最小，则选取期望值最小的为最优行动方案。

矩阵决策法的应用举例

例1：某出租汽车公司在甲、乙、丙三处设立了-租车与还车处，顾客可以在甲、乙、丙任一处租车．也可在任一处还车。已知顾客在三处租车是等可能的．还车概率如下表所示．如果该公司想选择一处设立汽车保修厂．间设在何处比较适宜?

Image:还车概率表.jpg

解：将还车概率看作设立汽车保修厂的损失值。

令 $B=\begin{bmatrix} 0.8 & \cdots & 0.2 \\ \vdots & \ddots & \vdots \\ 0 & \cdots & 0.6\end{bmatrix}$ , $P=\begin{Bmatrix} \frac{1}{3} \\ \frac{1}{3} \\ \frac{1}{3} \end{Bmatrix}$ ,

$E(A)=\begin{bmatrix} 0.8 & \cdots & 0.2 \\ \vdots & \ddots & \vdots \\ 0 & \cdots & 0.6\end{bmatrix}$ $P=\begin{Bmatrix} \frac{1}{3} \\ \frac{1}{3} \\ \frac{1}{3} \end{Bmatrix}=\begin{Bmatrix} 0.40 \\ 0.13 \\ 0.43 \end{Bmatrix}$

由计算出的期望值看到，经过一定时期的经营后，该公司的每部出租车将被还到甲处的概率为0.40，还到乙处的概率为0.13，还到丙处的概率为0.47。故保修厂应设在丙处为宜。

例2:一位病人患某种疾病，该疾病表现的病型为： $X 1$ , $X 2$ , $X 3$ , $X 4$ 。医生可以采取下述五种治疗方中的一种：放射疗法（ $A 1$ ），化学疗法（ $A 2$ ），手术疗法（ $A 3$ ），药物疗法（ $A 4$ ）和针灸疗法（ $A 5$ ）。已知此疾病表现为各种病型的概率p(x_j)及各种治疗方案对不同病型的损益值 $V i j$ 如下表所示。试确定最优治疗方案。

Image:各种治疗方案对不同病型的损益值表.jpg

解令 $B=\begin{bmatrix} 4 & 5 & 6 & 7 \\ 2 & 4 & 6 & 9 \\ 5 & 7 & 3 & 5 \\ 2 & 5 & 8 & 8 \\ 3 & 5 & 5 & 5 \end{bmatrix}$ , $P=\begin{bmatrix}0.2 \\ 0.4 \\ 0.1 \\ 0.3 \end{bmatrix}$ ,则 $E(A)=BP=\begin{bmatrix} 5.5 \\ 5.3 \\ 5.6 \\ 5.6 \\ 4.6 \end{bmatrix}$

比较计算所得的期望值，手术疗法（ $A 3$ ）和药物疗法（ $A 4$ ）都比较好。而 $E(A_3)=5.6-3=2.6<E^\prime(A_4)=5.6-2=3.6$ 。故最优治疗方案为手术疗法。