格林定理 – 12Reads管理百科

什么是格林定理

在物理学与数学中， 格林定理是指链接了一个封闭曲线上的线积分与一个边界为C且平面区域为 D 的双重积分。

格林定理是斯托克斯定理的二维特例，以英国数学家乔治•格林（George Green）命名。

设闭区域D由分段光滑的简单曲线L围成，函数P（x, y）及Q (x, y}在 D上具有一阶连续偏导数，则有

　 $\iint\limits_{D}(\frac{\partial Q}{\partial x} -\frac{\partial P}{\partial y})dxdy=\oint_{L^{+}}(Pdx+Qdy)$

其中L是D的取正向的边界曲线。格林公式还可以用来计算平面图形的面积。

此公式叫做格林公式，它给出了沿着闭曲线C的曲线积分与C所包围的区域D上的二重积分之间的关系。

以下是特殊情况下定理的一个证明，其中D是一种I型的区域，C2和C4是竖直的直线。对于II型的区域D，其中C1和C3是水平的直线。

如果我们可以证明

$\int_{C} L\, dx = \iint_{D} \left(- \frac{\partial L}{\partial y}\right)\, dA\qquad\mathrm{(1)}$

以及

$\int_{C} M\, dy = \iint_{D} \left(\frac{\partial M}{\partial x}\right)\, dA\qquad\mathrm{(2)}$

那么就证明了格林公式是正确的。

把右图中I型的区域D定义为： $D = \{(x,y)|a\le x\le b, g_1(x) \le y \le g_2(x)\}$
其中g1和g2是区间内的连续函数。计算(1)式中的二重积分：

$\iint_{D} \left(\frac{\partial L}{\partial y}\right)\, dA$	$=\int_a^b\!\!\int_{g_1(x)}^{g_2(x)} \left$
	$= \int_a^b \Big\{L(x,g_2(x)) - L(x,g_1(x)) \Big\} \, dx\qquad\mathrm{(3)}$

现在计算(1)式中的曲线积分。C可以写成四条曲线C1、C2、C3和C4的并集。

对于C1，使用参数方程：x = x，y = g1(x)，a ≤ x ≤ b。那么：

$\int_{C_1} L(x,y)\, dx = \int_a^b \Big\{L(x,g_1(x))\Big\}\, dx$

对于C3，使用参数方程：x = x，y = g2(x)，a ≤ x ≤ b。那么：

$\int_{C_3} L(x,y)\, dx = -\int_{-C_3} L(x,y)\, dx = - \int_a^b \, dx$

沿着C3的积分是负数，因为它是沿着反方向从b到a。在C2和C4上，x是常数，因此： $\int_{C_4} L(x,y)\, dx = \int_{C_2} L(x,y)\, dx = 0$

所以：

$\int_{C} L\, dx$	$= \int_{C_1} L(x,y)\, dx + \int_{C_2} L(x,y)\, dx + \int_{C_3} L(x,y)\, dx + \int_{C_4} L(x,y)\, dx$
	$= -\int_a^b \, dx + \int_a^b \, dx\qquad\mathrm{(4)}$

(3)和(4)相加，便得到(1)。类似地，也可以得到(2)。