格尔丰德-施奈德定理 – 12Reads管理百科

什么是格尔丰德-施奈德定理

格尔丰德-施奈德定理是指一个可以用于证明许多数的超越数的结果。这个定理由Aleksandr Gelfond和Theodor Schneider在1934年独立证明，它回答了希尔伯特第七问题。

如果α和β是代数数，其中α≠0且≠1，且β不是有理数，那么任何αβ = exp{βlogα}的值一定是超越数。

α和β不限于实数；它们可以是复数。

一般地，αβ = exp{βlogα}是多值函数，其中“log”表示复数对数。

该定理的一个等价的表述是：如果α和γ是非零的代数数，那么(logγ) / (logα)要么是有理数，要么是超越数。

如果没有β是代数数的限制，这个定理就不一定成立。例如，如果α = 3，β = log2 / log3，那么αβ = 2，它是代数数。

利用这个定理，立刻就可以推出以下实数的超越性： $2^{\sqrt{2}}$ （格尔丰德-施奈德常数）和 $\sqrt{2}^{\sqrt{2}}$ 。

eπ（格尔丰德常数），以及e-π/2=ii（这是因为 $e^{\pi}=e^{-i\,\log(-1)}$ 是( − 1) − i的值之一）。