变额年金法 – 12Reads管理百科

什么是变额年金法

变额年金法是每期支付的租金金额不相等的租金支付方式。

变额年金法分为等差变额年金法和等比变额年金法。

①等差变额年金法。

在这种方法下，每期租金都比前一期增加一个常数d。其公式是：

$R_1=\frac{i(1+i)^n}{(1+i)^n-1}-nd$

式中： $R 1$ 真为第一期期末支付的租金；d为常数。

根据定义： $R 2 = R 1 + d$

$R 3 = R 1 + 2 d$

……

$R n = R 1 + (n - 1) d$

将上面 $R 1$ , $R 2$ , $R 3$ …… $R n$ 的内容代入

$P= \frac{R_1}{1+i}+ \frac{R_2}{(1+i)^2}+$ …… $+ \frac{R_n}{(1+i)^n}$ 得：

$P= \frac{R_1}{1+i}+ \frac{R_1+d}{(1+i)^2}+ \frac{R_1+2d}{(1+i)^3}+$ …… $+ \frac{R_1+(n-1)d}{(1+i)^n}$

$= R_1+d$

$= R_1 \frac{(1+i)^n-1}{i(1+i)^n}+nd \times \frac{(1+i)^n-1}{i(1+i)^n}-d$

所以： $R_1= \frac{i(1+i)^n}{(1+i)^n-1}-nd$

如果d > 0，则后一期租金比前一期租金增加一个正数，称为等差递增变额年金法。

如果d < 0，则后一期租金比前一期租金增加一个负数，称为等差递减变额年金法。

如果d＝0，则为等额年金法，因此，等额年金法是变额年金法的特例。

②等比变额年金法。

在这种方法下，每期租金与前一期租金的比值总是一个常数q。公式如下：

$R_1=P \bullet \frac{(1+i-q)}{1-(\frac{q}{1+i})^n}$

式中： $R 1$ 为第一期期末支付的租金额；q为常数。

公式可推导如下：

$R_2=R_1 \bullet q$ $R_3=R_2 \bullet q=R_1 \bullet q^2$ …… $R_n=R_1 \bullet q^{n-1}$

把上式代入等式 $P= \frac{R_1}{1+i}+ \frac{R_2}{(1+i)^2}+$ …… $+ \frac{R_n}{(1+i)^n}$ 得：

$P=\frac{R_1}{1+i}+ \frac{R_1q}{(1+i)^2}+$ …… $+ \frac{R_1q^{n-1}}{(1+i)^n}$

$=R_1$

$=R_1 \bullet \frac{1- (\frac{q}{1+i})^n}{1+i-q}$

所以， $R_1=\frac{P(1+i-q)}{1- (\frac{q}{1+i})^n}$ 或者 $R_1=\frac{P(1+i-q)(1+i)^n}{(1+i)^n - q^n}$

如果q > 1，则为等比递增变额年金法。

如果q < 1，则为等比递减变额年金法。

如果q = 1，则为等额年金法。

由此我们可以看出，使用变额年金法，每次支付租金的金额不同，有时递增、有时递减；此法符合收益与成本相配比的原则；d与q的大小难以确定，而且d、q越大，租金增额越多。