CES生产函数 – 12Reads管理百科

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什么是CES生产函数

CES生产函数是指替代弹性为常数的，CES生产函数首先由Solow提出的，经过实证检定，逐渐被应用。

CES生产函数的公式

CES生产函数为常替代弹性生产函数

$Y = A (δ1 k - ρ + δ2 L - ρ)1 / ρ$ (1)

的简称, 这是因为式(1)所表示的生产函数的替代弹性

$σ = 1 / (1 + ρ)$ 为常数。

在经济理论中,生产函数Y=F(K,L)应满足:对任意的K、L有，Y(0,L)=Y(K,0)=0。

有些生产函数例如C－D函数

$Y = A K α L β$ ,则由其函数表达式自然满足Y(0,L)=Y(K,0)=0,即为默认。

在研究CES生产函数时, 必须同时准确地给出其使用条件:

$Y=A(\delta_1 k^{\frac{\alpha-1}{\alpha}}+\delta_2 L^{\frac{\alpha-1}{\alpha}})^{\frac{\alpha}{\alpha-1}}$

其中K>O 且L>0。

CES生产函数的性质

由以上讨论,我们首先给出CES生产函数(l)的定义域为 $R^+\times R^+$

对于固定的L>0,由(1)式可得人均产出函数

$y=\frac{Y}{L}=A(\delta_1(\frac{K}{L})^{-1/\rho})=A\delta_2^{-1/\rho}(\frac{\delta_1}{\delta_2}k^{-\rho}+1)^{-1/\rho}$

记为y=f(k)(2)

这里k=K/L表示人均资本(或称劳动装备)。

对(2)求导,得

$f(k)=A\delta_2^{-1/\rho}(\frac{\delta_1}{\delta_2}k^{-\rho}+1)^{-1\rho-1 }\frac{\delta_1}{\delta_2}k^{-\rho-1}$ (3)

显然,当k>0且L>O时,有

性质1，人均CES生产函数(2)在其定义域 $R^+\times R^+$ 内,恒有

f(k)>0

再对(3)式求导，得

$f'(k)=-A\delta_2^{-1/\rho}(1+\rho)(\frac{\delta_1}{\delta_2}k^{-\rho}+1)^{-1/\rho-2}\frac{\delta_1}{\delta_2}k^{-\rho-2}$ (4)

由此又有

性质2，人均CES生产函数(2)在其定义域 $R^+\times R^+$ 内,恒有

f(k)<0

由性质1、性质2知,人均CES生产函数(2)为凹函数。

性质1的经济意义为:边际产出大于零,即资本k每增加一个单位,则产出y增加

$A\delta_2^{-1/\rho}(\frac{\delta_1}{\delta_2}k^{-\rho}+1)^{-1/\rho-1}\frac{\delta_1}{\delta_2}k^{-\rho-1}$ 个单位

性质2说明人均CES生产函数从经济上来说是规模递减的,即随资本k的增加,边际产出递增的速度下降。

CES生产函数的运用

假设考虑三种生产要素的CES函数,即固定资本品 $K 1$ 、中间消耗品 $K 2$ 和劳动力L,并假设劳动力L在考察期内不变,即具有以下的生产函数形式:

$Y_1=A^\frac{1}{\rho},0<\delta_i<1,i=1,2,A>0,\rho<1$ （5）

在封闭的经济中第t+1年固定资本品投人来源于第t年的剩余和第t年产出的再投入部分,比例为 $σ1$ ,第t+1年中间消耗来源于第t年产出的投人,比例为 $σ2$ ,第t年消费均来自当年的产出扣除下一年的再投人部分。

假设折旧率为 $μ$ ,整个社会的消费记为C(t),人均消费记为c(t),如上两边同除L,人均化后即有:

$y_1=A^{\frac{1}{\rho}},0<\delta_i,i=1,2,A>0,\rho<1$ (6)

且有如下关系:

$k 1(t + 1) = k 1(t) - μ k 1(t) + σ1 y (t)$

$k 2(t + 1) = σ2 y (t)$ (7)

$c (t) = (1 - σ1 - σ2) y (t)$

取考察期内的人均消费的效用达到最大化,我们建立的模型如下:

$MAX\int_0^{\infty}U(c(t))dt$

$y(t)=A^{\frac{1}{\rho}}$

$k 1(t + 1) = k 1(t) - μ k 1(t) + σ1 y (t)$ (8)

$c (t) = (1 - σ1 - σ2) y (t),0 < δ i < 1, i = 1,2;0 < μ < 1$

把状态方程(7)连续化得到:

$\frac{dk_1(t)}{dt}=-\mu k_1(t)+\sigma_1 y(t)$ (9)

$\frac{dk_2(t)}{dt}=-k_2(t)+\sigma_2 y(t)$

对系统(9),均衡时由 $\frac{dk_1(t)}{dt}=0$ , $\frac{dk_2(t)}{dt}=0$ 解得惟一的正均衡点 $E(k_1^{*},k_2^{*})$ 满足：

$k_1^{*}=\frac{\sigma_1}{\mu}y$ , $k_2^{*}=\sigma_2y$ (10)

把它们带人生产函数的表达式中得到：

$y=A^{\rho}$

可解得在均衡点处有：

$y^*=^{\frac{1}{\rho}}$ (11)

再把它带人式(10)中就有:

$k_1^{*}=\frac{\sigma_1}{\mu}^{\frac{1}{\rho}}$

$k_2^{*}=\sigma_2^{\frac{1}{\rho}}$

我们可以得到在均衡点的导系数矩阵为

$\begin{bmatrix} -\mu+\sigma_1 \delta_1(\frac{\mu}{\sigma_1})^{1-\rho} & \sigma_1 \delta_2(\frac{1}{\sigma_2}^{1-\rho})A^{\rho} \\ \sigma_2 \delta_1(\frac{\mu}{\sigma_1})^{1-\rho}A^{\rho} & -1+\sigma_2 \delta_2(\frac{1}{\sigma_2})^{1-\rho}A^{\rho}\end{bmatrix}$