马尔可夫过程 – 12Reads管理百科

什么是马尔可夫过程

1、马尔可夫性(无后效性)

过程或（系统）在时刻t0所处的状态为已知的条件下，过程在时刻t > t0所处状态的条件分布，与过程在时刻t0之前处的状态无关的特性称为马尔可夫性或无后效性。

即：已知过程“现在”的情况，过程“将来”的情况与“过去”的情况是无关的。

2、马尔可夫过程的定义

具有马尔可夫性的随机过程称为马尔可夫过程。

用分布函数表述马尔可夫过程：

设I：随机过程{X(t),t\in T}的状态空间，如果对时间t的任意n个数值:

$P{X(t_n)\le x_n|X(t_1)=x_1,X(t_2)=x_2,\cdots ,X(t_{n-1})=x_{n-1}}$ （注：X(tn)在条件X(ti) = xi下的条件分布函数）

$=P{X(t_n\le x_n|X(t_{n-1})=x_{n-1}},x_n\in R$ (注：X(tn))在条件X(tn − 1) = xn − 1下的条件分布函数）

或写成：

$F_{t_n|t_1\cdots t_{n-1}}(x_n,t_n|x_1,x_2,\cdots,x_{n-1};t_1,t_2,\cdots,t_{n-1})$

$F_{t_n|t_{n-1}}(x_n,t_n|x_{n-1},t_{n-1})$

这时称过程 $X(t),t\in T$ 具马尔可夫性或无后性，并称此过程为马尔可夫过程。

3、马尔可夫链的定义

时间和状态都是离散的马尔可夫过程称为马尔可夫链, 简记为 ${X_n=X(n),n=0,1,2,\cdots}$ 。

研究时间和状态都是离散的随机序列: ${X_n=X(n),n=0,1,2,\cdots}$ ,状态空间为 $I={a_1,a_2,\cdots},a_i\in R$

1、用分布律描述马尔可夫性

对任意的正整数n,r和 $0\le t_1<t_2<\cdots <t_r<m;t_i,m,n+m\in T_i$ ，有：

$P{X_{m+n}=a_j|X_{t_1}=a_{i_1},X_{t_2}=a_{i_2},\cdots,X_{t_r}=a_{i_r},X_m=a_i}$

PXm + n = aj | Xm = ai，其中 $a_i\in I$ 。

2、转移概率

称条件概率Pij(m,m + n) = PXm + n = aj | Xm = ai为马氏链在时刻m处于状态ai条件下，在时刻m+n转移到状态aj的转移概率。

说明：转移概率具胡特点：

$\sum_{j=1}^\infty P_{ij}(m,m+n)=1,i=1,2,\cdots$ 。

由转移概率组成的矩阵称为马氏链的转移概率矩阵。它是随机矩阵。

3、平稳性

当转移概率Pij(m,m + n)只与i,j及时间间距n有关时，称转移概率具有平稳性。同时也称些链是齐次的或时齐的。

此时，记Pij(m,m + n) = Pij(n),Pij(n) = PXm + n = aj | Xm = ai(注：称为马氏链的n步转移概率)

P(n) = (Pij(n))为n步转移概率矩阵。

特别的, 当 k=1 时,

一步转移概率：Pij = Pij(1) = PXm + 1 = aj | Xm = ai。

一步转移概率矩阵：P(1)

马尔可夫过程

设任意相继的两天中，雨天转晴天的概率为1/3，晴天转雨天的概率为1/2，任一天晴或雨是互为逆事件。以0表示晴天状态，以1表示雨天状态，Xn表示第n天状态（0或1）。试定出马氏链 $X_n,n\ge 1$ 的一步转移概率矩阵。又已知5月1日为晴天，问5月3日为晴天，5月5日为雨天的概率各等于多少？

解：由于任一天晴或雨是互为逆事件且雨天转晴天的概率为1/3，晴天转雨天的概率为1/2，故一步转移概率和一步转移概率矩阵分别为：

$P{X_n=j|X_{n-1}=i}=\begin{cases}\frac{1}{3},i=1,j=0\\\frac{2}{3},i=1,j=1\\\frac{1}{2},i=0,j=0\\\frac{1}{2},i=0,j=1\end{cases}$

马尔可夫过程

故5月1日为晴天，5月3日为晴天的概率为：

$P_{00}(2)=\frac{5}{12}=0.4167$

又由于：马尔可夫过程

故5月1日为晴天，5月5日为雨天的概率为：P01(4) = 0.5995