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积分第一中值定理

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什么是积分第一中值定理

设 $f:\rightarrow \mathbf R$ 为一连续函数， $g:\rightarrow \mathbf R$ 为一正的可积函数，那么存在一点 $\xi\in$ 使得

$\int_a^b f(x)g(x)\,dx= f(\xi)\int_a^b g(x)\,dx$ 。

事实上，可以证明，上述的中值点ξ必能在开区间(a,b)内取得，见下方中值点在开区间内存在的证明。

积分第一中值定理的证明

因为 $f$ 是闭区间上的连续函数， $f$ 取得最大值 $\Mu$ 和最小值 $\mu$ 。于是

$\Mu g(x)\geq f(x)g(x)\geq\mu g(x)$ 。

对不等式求积分，我们有

$\Mu\int^\beta_\alpha g(x){\rm{d}}x\geq\int^\beta_\alpha f(x)g(x){\rm{d}}x\geq\mu\int_a^b g(x){\rm{d}}x$ 。

若 $\int^\beta_\alpha g(x){\rm{d}}x=0$ ，则 $\int^\beta_\alpha f(x)g(x){\rm{d}}x=0$ 。 $\xi$ 可取 $\text{[math]}$ 上任一点。

设 $\int^\beta_\alpha g(x){\rm{d}}x>0$ ，那么

$\Mu\geq\frac{\int^\beta_\alpha f(x)g(x){\rm{d}}x}{\int^\beta_\alpha g(x){\rm{d}}x}\geq\mu$ 。

因为 $\Mu\geq f(x)\geq\mu$ 是连续函数，则必存在一点 $\xi\in$ ，使得

$f(\xi)=\frac{\int^\beta_\alpha f(x)g(x){\rm{d}}x}{\int^\beta_\alpha g(x){\rm{d}}x}$ 。

中值点在开区间内存在的证明

已知f(x)在上连续，设 $F(x) = \int_{a}^{x} f(t)\, dt$ 。

知F(x)在上连续，在内可导，应用拉格朗日中值定理，可得：

$\frac{F(b)-F(a)}{b-a}=F'(\xi)$ ，其中 $\xi\in(a,b)$

即

$\frac{\int_{a}^{b} f(t)\, dt-\int_{a}^{a} f(t)\, dt}{b-a}=f(\xi)$

所以

$\int_{a}^{b} f(x)\, dx=f(\xi)(b-a), \xi\in(a,b)$ 。

积分第一中值定理

发布日期 2017年2月26日

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创建者: Moday

所属分类: 金融财会

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