模糊集合 – 12Reads管理百科

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什么是模糊集合

模糊集合是由在某种程度上属于它的原素构成的。从隶属到不隶属的转变，不像普通集合那样是硬性的，而是软性的。同样，模糊逻辑的对象是不明确的真理，模糊联结词和推论规则与古典的二值逻辑是对立的。

给定一个论域 U ，那么从 U 到单位区间的一个映射

$\mu_{A}: U \mapsto$

称为 U 上的一个模糊集合，或 U 的一个模糊子集，

要注意，严格地说，模糊集合或子集是映射所确定的序对集，但由于模糊子集完全由其隶属函数所确定，因而我们不区分映射和映射所确定的序对集，而总是直接把模糊子集定义为一个满足上述定义的映射。

模糊集合可以记为 A 。

映射（函数） μA(·) 或简记为 A(·) 叫做模糊集合 A 的隶属函数。

对于每个 x ∈ U ， μA(x) 叫做元素 x 对模糊集合 A 的隶属度。

模糊集合的常用表示法有下述几种：

解析法，也即给出隶属函数的具体表达式。

Zadeh 记法，例如 $A={1\over x_1}+{0.5\over x_2}+{0.72\over x_3}+{0\over x_4}$ 。分母是论域中的元素，分子是该元素对应的隶属度。有时候，若隶属度为0，该项可以忽略不写。

序偶法，例如 $A = {(x 1,1),(x 2,0.5),(x 3,0.72),(x 4,0)}$ ，序偶对的前者是论域中的元素，后者是该元素对应的隶属度。

向量法，在有限论域的场合，给论域中元素规定一个表达的顺序，那么可以将上述序偶法简写为隶属度的向量式，如 A = (1,0.5,0.72,0) 。

模糊集合的运算

各种算子

Zadeh 算子，max 即为并，min 即为交

$a\vee b=max(a,b)$

$a\wedge b=min(a,b)$

代数算子（概率和、代数积）

$a\stackrel{\wedge}{+} b =a+b-ab$

$a\cdot b = ab$

有界算子

$a\oplus b =min(1,a+b)$

$a\dot b = max(0,a+b-1)$

Einstein 算子

$a\stackrel{+}{\epsilon} b = \frac{a+b}{1+ab}$

$a\stackrel{\cdot}{\epsilon} b = \frac{ab}{1+(1-a)(1-b)}$

Hamacher 算子，其中ν ∈ 1 / p

λ-γ 算子，其中 λ,γ∈ 是参数

$a\;\lambda\;b = \lambda ab+(1-\lambda)(a+b-ab)$

$a\;\gamma\;b = (ab)^{1-\gamma}(a-ab)^\gamma$

Dobois-Prade 算子，其中 λ ∈ 是参数

$a\vee_d b = \frac{a+b-ab-min{(1-\lambda),a,b}}{max(\lambda,1-a,1-b)}$

$a\wedge_d b = \frac{ab}{max(\lambda,a,b)}$

算子的性质

主要算子的性质对比表如下（.表示不满足，-表示未验证）：

算子结合律交换律分配律互补律同一律幂等律支配律吸收律双重否定律德·摩根律

Zedah √ √ √ . √ √ √ √ √ √

代数 √ √ . . √ . √ . – √

有界 √ √ . √ √ . √ √ – √

线性补偿是指：

$(\forall x,y,k \in )(x+k \wedge y-k\ \Rightarrow\ U(x+k,y-k)=U(x,y))$

算子的并运算幂等律排中律分配律结合律线性补偿

Zadeh √ . √ √ .

代数 . . . √ .

有界 . √ . . √

Hamacher r = 0 . . . √ .

Yager . . . √ .

Hamacher . . . √ .

Dobois-Prade . . . √ .

模糊集合之间的距离

使用度量理论

可以使用一般的度量理论来描述模糊集合之间的距离。在这个意义上，我们需要在模糊幂集 F(U) 上建立一个度量，此外，我们还可能需要将此度量标准化，也即映射到区间上。例如可以这样来标准化 Minkowski 距离：

$\tilde{d}(x,y)=\left({1\over n}\sum\limits_{i=1}^n \left| x_i - y_i \right|^p \right)^{1\over p}$

贴近度

另一种是使用贴近度概念。在某种意义上，贴近度就是 1 – 距离（这里的距离是上述标准化意义上的距离）。而之所以应用这个变换，是考虑到“度”的概念的直觉反映——距离越近，贴近的程度显然越“高”，因此它恰为距离的反数。

除了距离外，还有一些与模糊集合的特殊操作有关系的贴近度定义。

最大最小贴近度

$\displaystyle \sigma(A,B)=\frac{\sum_{i=1}^{n}(A(u_i)\wedge B(u_i))}{\sum_{i=1}^{n}(A(u_i)\vee B(u_i))}$

算术平均最小贴近度

$\displaystyle \sigma(A,B)=\frac{\sum_{i=1}^{n}(A(u_i)\wedge B(u_i))}{{1\over 2}\sum_{i=1}^{n}(A(u_i)+B(u_i))}$

几何平均最小贴近度

$\displaystyle \sigma(A,B)=\frac{\sum_{i=1}^{n}(A(u_i)\wedge B(u_i))}{\sum_{i=1}^{n}\sqrt{A(u_i)\cdot B(u_i)}}$

指数贴近度

$\displaystyle \sigma(A,B)=\frac{1}{e^{\|A-B\|}}$

模糊集合的模糊度

一个模糊集合 A 的模糊度衡量、反映了 A 的模糊程度，一个直观的定义是这样的：

设映射 D: F(U) → 满足下述5条性质：

清晰性：D(A) = 0 当且仅当 A ∈ P(U)。（经典集的模糊度恒为0。）

模糊性：D(A) = 1 当且仅当 ∀ u ∈ U 有 A(u) = 0.5。（隶属度都为0.5的模糊集合最模糊。）

单调性：∀ u ∈ U，若 A(u) ≤ B(u) ≤ 0.5，或者 A(u) ≥ B(u) ≥ 0.5，则 D(A) ≤ D(B)。

对称性：∀ A ∈ F(U)，有 D(Ac) = D(A)。（补集的模糊度相等。）

可加性：D(A∪B) + D(A∩B)=D(A) + D(B)。

则称 D 是定义在 F(U) 上的模糊度函数，而 D(A) 为模糊集合 A 的模糊度。

可以证明符合上述定义的模糊度是存在的，一个常用的公式（分别针对有限和无限论域）就是

$D_p(A)=\frac{2}{n^{1/p}}\left(\sum\limits_{i=1}^n\left|A(u_i)-A_{0.5}(u_i)\right|^p\right)^{1/p}$

$D(A)=\int_{-\infty}^{+\infty}|A(u)-A_{0.5}(u)|\mbox{d}u$

其中 p > 0 是参数，称为 Minkowski 模糊度。特别地，当 p = 1 的时候称为 Hamming 模糊度或 Kaufmann 模糊指标，当 p = 2 的时候称为 Euclid 模糊度。

算子	结合律	交换律	分配律	互补律	同一律	幂等律	支配律	吸收律	双重否定律	德·摩根律
Zedah	√	√	√	.	√	√	√	√	√	√
代数	√	√	.	.	√	.	√	.	–	√
有界	√	√	.	√	√	.	√	√	–	√

算子的并运算	幂等律	排中律	分配律	结合律	线性补偿
Zadeh	√	.	√	√	.
代数	.	.	.	√	.
有界	.	√	.	.	√
Hamacher r = 0	.	.	.	√	.
Yager	.	.	.	√	.
Hamacher	.	.	.	√	.
Dobois-Prade	.	.	.	√	.