棣莫弗公式 – 12Reads管理百科

什么是棣莫弗公式

棣莫弗公式是指法国数学家棣莫弗（Abraham de Moivre，1667年－1754年）于1707年创立的公式。

当一个复数z以极坐标形式表达，即z = r(cosθ + isinθ)时，其n次方(r(cosθ + isinθ))n = rn(cos(nθ) + isin(nθ))，其中n属于任何整数。

最简单的方法是应用欧拉公式。

$e^{ix} = \cos x + i\sin x\,$

$\left( e^{ix} \right)^n = e^{inx} .$

$e^{i(nx)} = \cos (nx) + i\sin (nx).\,$

证明的思路是用数学归纳法证明正整数的情形。

设命题为 $P ( n ) = ( \cos \theta + i \sin \theta )^n =\left( \cos n \theta + i \sin n \theta \right), n \in\mathbb{N}$

当n=1

左式 $= ( \cos \theta + i \sin \theta )^1 = \cos \theta + i \sin \theta = ( \cos 1 \cdot \theta + i \sin 1 \cdot \theta )=$ 右式

因此 P(1)成立。

假设P(k)成立，即(cosθ + isinθ)k = cos(kθ) + isin(kθ)

当n = k + 1

$\cdot ~~~~~~ (\cos\theta + i\sin\theta)^{k+1}$

$=(\cos\theta + i\sin\theta)^{k} \cdot (\cos\theta + i\sin\theta)$

$=(\cos k\theta + i\sin k\theta) \cdot (\cos\theta + i\sin\theta)$

$=(\cos k\theta \cdot \cos\theta + \cos k\theta \cdot i\sin\theta) + (i\sin k\theta \cdot \cos\theta + i\sin k\theta \cdot i\sin\theta)$

$= + i$

$=\cos (k+1)\theta + i\sin (k+1)\theta \cdot$

因此，P(k + 1)也成立。

根据数学归纳法， $\forall n \in \mathbb{N}$ ，P(n)成立。

只需运用恒等式：

$(\cos (n \theta)+i \sin (n \theta)) \cdot (\cos (-n \theta)+i \sin (-n \theta)) =1$ 即可证明。

此定理可用来求单位复数的 n 次方根。设 | z | = 1，表为

z = cosθ + isinθ

若 wn = z，则 w 也可以表成：

w = cosφ + isinφ

按照棣莫弗公式：

wn = (cosφ + isinφ)n = cosnφ + isinnφ = cosθ + isinθ = z

于是得到

nφ = θ + 2kπ（其中 $k \in \Z$ ）

也就是：

$\phi = \frac{\theta + 2k\pi}{n}$

当 k 取 $0, 1, \ldots, n-1$ ，我们得到 n 个不同的根。