柯西中值定理 – 12Reads管理百科

什么是柯西中值定理

柯西中值定理是拉格朗日中值定理的推广，是微分学的基本定理之一。

如果函数 f(x) 及 g(x) 满足

在闭区间上连续；

在开区间 (a,b) 内可导，

对任意 $x\in (a,b),g'(x)\neq 0$ ，

那么在 (a,b) 内至少有一点 ξ(a < ξ < b) 使等式 $\frac{f(b)-f(a)}{g(b)-g(a)}=\frac{f'(\xi)}{g'(\xi)}$ 成立。

其几何意义为：用参数方程表示的曲线上至少有一点，它的切线平行于两端点所在的弦。

首先，如果 g(a) = g(b)，由罗尔定理，存在一点 $x_0\in (a,b)$ 使得 g‘(x0) = 0，与条件3矛盾。所以 $g(a)\neq g(b)$ 。

令 $h(x)=f(x)-\frac{f(b)-f(a)}{g(b)-g(a)}\cdot g(x)$ 。那么

h 在上连续，

h 在 (a,b) 上可导，

$h(a)=h(b)= \frac{f(a)g(b)-f(b)g(a)}{g(b)-g(a)}$ 。

由罗尔定理，存在一点 $\xi\in (a,b)$ 使得 h‘(ξ) = 0。即 $f'(\xi)= \frac{f(b)-f(a)}{g(b)-g(a)}\cdot g'(\xi)$ 。命题得证。