指数模型 – 12Reads管理百科

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指数模型的一般形式

我们把证券的持有期收益写成：

$r i = E (r i) + m + e i$ ………….（1）

从而简要地将宏观经济因素与公司特有因素区分开。

式中：

$E (r i)$ ——证券持有期期初的期望收益；
$m$ ——证券持有期间非预期的宏观事件对证券收益的影响；
$e i$ ——证券持有期间非预期的公司特有事件对证券收益的影响。

$m$ 和 $e i$ 都具有零期望值，因为他们都是非预期事件的影响，根据定义其平均值必然为零。

如果我们记宏观因素的非预测成分为 $F$ ，记证券 $i$ 对宏观经济事件的敏感度为 $β i$ ，则证券 $i$ 的收益的宏观成分为 $m i = β i F$ ，则（1）式变成：

$r i = E (r i) + β i F + e i$ …………（2）

如果我们用主要证券指数，如标准普尔500指数作为宏观因素的一般代表时，就可得到与单因素模型类似的等式，这就是单指数模型，也就是我们将要讨论的指数模型的一般代表。

指数模型的风险溢价形式

根据指数模型，我们可以把实际的或已实现的证券收益区分成宏观（系统）的与微观（公司特有）的两部分。我们把每个证券的收益率写成三个部分的总和：

项目	记号
如果市场是中性的，即市场超额收益 $r m - r f$ 为零时的股票期望收益率随整个市场运动的收益成分， $β i$ 是证券对市场运动的敏感度与这个证券（公司特有）相关的非预期事件形成的非预期成分	$α i$ $β i (r m - r f)$ $e i$

股票持有期超额收益可写成：

$r i - r f = α i + β i (r m - r f) + e i$

我们用大写的 $R$ 代表超过无风险收益的超额收益，把这个等式改写成：

$R i = α i + β i R m + e i$

指数模型的风险的衡量

方差

我们考虑单个证券的方差，有：

$\begin{cases}\sigma_i^2 &=Cov(R_i,R_i)\\&=Cov(\alpha_i+\beta_iR_m+e_i,\alpha_i+\beta_iR_m+e_i)\\&=Cov(\beta_iR_m,\beta_iR_m)+Cov(e_i,e_i)\\&=\beta_i^2\sigma_m^2+\sigma^2(e_i)\end{cases}$

上式可做如下解释： $α i$ 为一确定值，其与其它变量的协方差均为零； $e i$ 为公司特有成分，独立于系统风险，即 $e i$ 与 $R m$ 的协方差为零。从而得到上式。

协方差

我们考虑两个证券的协方差，有：

$\begin{cases}Cov(R_i,R_j)&=Cov(\alpha_i+\beta_iR_m+e_i,\alpha_j+\beta_jR_m+e_j)\\&=Cov(\beta_iR_m,\beta_jR_m)\\&=\beta_i\beta_j\sigma_m^2\end{cases}$

与前述方差的解释一致，而且有两公司的特有风险不相关，即存在 $C o v (e i, e j) = 0$ 。

指数模型与风险分散化

指数模型与风险的分散化

由夏普首先建立的指数模型也提供了资产组合风险分散化的另一个视角。假定我们选择有n个证券的等权重资产组合。每个证券的超额收益率由下式给出：

$R i = α i + β i R m + e i$

相似地，我们可以把股票资产组合的超额收益写成：

$R p = α p + β p R m + e p$ …………….（3）

现在我们说明，随着资产组合中的股票数量的增加，归因于非市场因素的风险部分将变得越来越小。这部分风险被分散掉了。相比较，市场风险依然存在，无论资产组合的股票数量有多少。

我们注意到等权重的假定（即 $\omega_i=\frac{1}{n}$ ），从而有：

$\begin{cases}R_p=\sum_{i=1}^n \omega_iR_i&=\frac{1}{n}\sum_{i=1}^n R_i\\ &=\frac{1}{n}\sum_{i=1}^n (\alpha_i+\beta_iR_m+e_i)\\ &=\frac{1}{n}\sum_{i=1}^n\alpha_i+(\frac{1}{n}\sum_{i=1}^n \beta_i)R_m+\frac{1}{n}\sum_{i=1}^n e_i \end{cases}$ ………………（4）

比较上式与（3）式，我们可得到：

资产组合对市场的敏感度为： $\beta_p=\frac{1}{n}\sum_{i=1}^n \beta_i$

资产组合有一个常数的非市场收益成分： $\alpha_p=\frac{1}{n}\sum_{i=1}^n \alpha_i$

和零均值变量： $e_p=\frac{1}{n}\sum_{i=1}^n e_i$

资产组合的方差为： $\sigma_p^2=\beta_p^2\sigma_m^2+\sigma^2(e_p)$

我们定义资产组合方差的系统风险成分为依赖于市场运动的部分为 $\beta_p^2\sigma_m^2$ ，它也依赖于单个证券的敏感度系数。这部分风险依赖于资产组合的贝塔的 $\sigma_m^2$ ，不管资产组合分散化程度如何都不会改变。无论持有多少股票，它们在市场中暴露的一般风险将反映在资产组合的系统风险中。

相比较，资产组合方差的非系统风险成分是 $σ2(e p)$ ，它来源于公司特有成分 $e i$ 。因为这些 $e i$ 是独立的，都具有零期望值，所以可以由平均法则得出这样的结论：随着越来越多的股票加入到资产组合中，公司特有风险倾向于被分散掉，非市场风险越来越小，这些风险被认为是可分散的。这一点可说明如下。

因为 $e i$ 是独立的，有：

$\sigma^2(e_p)=\sum_{i=1}^n (\frac{1}{n})^2\sigma^2(e_i)=\frac{1}{n}\bar\sigma^2(e)$

式中， $\bar\sigma^2(e)$ 为公司特有方差的均值。由于这一均值独立于n，所以当n变大时， $σ2(e p)$ 就变得小得可以忽略了。

总而言之，随着分散化程度的加强，资产组合的方差接近于系统方差。系统方差定义为市场因素的方差乘以资产组合敏感系数的平方 $\beta_p^2$ 。可见如下示意图。

指数模型与资本资产定价模型

由指数模型，有：

$\begin{cases}Cov(R_i,R_m)&=Cov(\alpha_i+\beta_iR_m+e_i,R_m)\\ &=Cov(\alpha_i,R_m)+Cov(\beta_iR_m,R_m)+Cov(e_i,R_m)\\&=\beta_i\sigma^2_m\end{cases}$

在上式中，我们注意到 $α i$ 是一个常量，因而 $C o v (α i, R m) = 0$ ；而公司特有的成分独立于整个市场的成分，因而 $C o v (e i, R m) = 0$ 。从而有：

$\beta_i=\frac{Cov(R_i,R_m)}{\sigma^2_m}$

由 $\begin{cases}R_i=r_i-r_f\\ R_m=r_m-r_f\end{cases}$

知： $C o v (R i, R m) = C o v (r i, r m)$

得： $\beta_i=\frac{Cov(R_i,R_m)}{\sigma^2_m}=\frac{Cov(r_i,r_m)}{\sigma^2_m}=\beta_i^'$ ，式中 $\beta_i^'$ 为资本资产定价模型中的贝塔系数。

这说明指数模型与资本资产定价模型中的贝塔具有相同的含义。