布丰投针问题 – 12Reads管理百科

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什么是布丰投针问题

布丰投针问题是指18世纪布丰提出的问题：设我们有一个以平行且等距木纹铺成的地板（如图），现在随意抛一支长度比木纹之间距离小的针，求针和其中一条木纹相交的概率。

布丰投针问题的解法

设针的长度是 $\ell$ ，并行线之间的距离为 $t$ ， $x$ 为针的中心和最近的并行线的距离， $θ$ 为针和线之间的锐角。

$x \in$ 的机率密度函数为 $\frac{2}{t}dx$ 。

$\theta \in$ 的机率密度函数为 $\frac{2}{\pi}d\theta$ 。

$x,θ$ 两个随机变量互相独立，因此两者结合的机率密度函数只是两者的乘法|积：

$\frac{4}{t\pi}dxd\theta$ 。

当 $x \le \frac{\ell}{2}\sin\theta$ ，针和线相交。

求上式的积分，得针与线相交的机率：

$\int_0^{\frac{\pi}{2}} \int_0^{(\ell/2)\sin\theta} \frac{4}{t\pi}dxd\theta = \frac{2\ell}{t\pi}.$

抛 $n$ 支针，其中有 $h$ 支针与线相交的机率是：

$\frac{h}{n} = \frac{2\ell}{t\pi},$

由此可求得π：

$\pi = \frac{2\ell n}{th}$

布丰投针问题的相关实验

1901年意大利数学家Mario Lazzarini尝试进行此实验。他抛了3408次针，得到π的近似值为355/113。

Lazzarini选取了一支长度是纹的距离的5/6的针。在这个情况，针和纹相交的机会是5/(3π)。如果想抛n次针而得到x次相交，π约等于 $5/3 \times n/x$ 。分母、分子少于五位数字，没有比355/113更好的π的近似值了。因此，可以列式 $355/113 = 5/3 \times n/x$ ，得 $x = 113 n / 213$ 。

为求x的值接近这个数，可以重复抛213次针，若有113次是成功的，便可终止实验，宣布这个方法求π值准确度不低；否则，就再抛213次针，希望共有226次成功……这次反复进行实验。Lazzarini做了 $3408=213 \times 16$ 次。