哈恩－巴拿赫定理 – 12Reads管理百科

什么是哈恩-巴拿赫定理

在泛函分析中，哈恩-巴拿赫定理是一个极为重要的工具。它允许了定义在某个向量空间上的有界线性算子扩张到整个空间，并说明了存在“足够”的连续函数。定义在每一个赋范向量空间，使对偶空间的研究变得有趣味。这个定理以汉斯•哈恩和斯特凡•巴拿赫命名，他们在1920年独立证明了这个定理。

哈恩-巴拿赫定理的内容

定理的最一般的表述需要一些准备。给定标量域（实数 $\mathbb{R}$ 或复数 $\mathbb{C}$ ）上的一个向量空间V，一个函数 $\mathcal{N}:V\rightarrow\mathbb{R}$ 称为次线性函数，如果：

$\mathcal{N}(ax+by)\leq|a|\mathcal{N}(x) + |b|\mathcal{N}(y)\qquad\forall x,y\in V\quad\forall a,b\in\mathbb{K}.$

可以很容易证明，V上的每一个范数和每一个半范数都是次线性的。其它的次线性函数也可以是很有用的。

哈恩-巴拿赫定理说明，如果 $\mathcal{N}:V\rightarrow\mathbb{R}$ 是一个次线性函数， $\varphi:U\rightarrow\mathbb{K}$ 是V的线性子空间|子空间U上的一个线性泛函，满足：

$|\varphi(x)|\le q\mathcal{N}(x)\qquad\forall x \in U$

那么存在φ到整个空间V的一个线性扩张 $\psi:V\rightarrow\mathbb{K}$ ，也就是说，存在一个线性泛函ψ，使得：

$\psi(x)=\varphi(x)\qquad\forall x\in U$

以及：

$|\psi(x)|\leq\mathcal{N}(x)\qquad\forall x\in V.$

扩张ψ一般不是由φ唯一指定的，定理的证明也没有给出任何求出ψ的方法：在无穷维空间V的情形中，它依赖于佐恩引理——选择公理的一个表述。

我们可以把 $\mathcal{N}$ 的次线性条件稍微减弱，只需要：

$\mathcal{N}(ax+by)\leq|a|\mathcal{N}(x) + |b|\mathcal{N}(y)\qquad\forall x,y\in V\quad |a|+|b|=1\in\mathbb{R}$

这揭示了哈恩-巴拿赫定理与凸性的密切联系。

哈恩-巴拿赫定理的重要结果

这个定理有一些重要的结果，其中有些也有时称为“哈恩-巴拿赫定理”：

如果V是一个赋zh-tw:范向量空间，其子空间为U（不一定是封闭的），且φ: U → K是连续和线性的，那么存在φ的一个扩张ψ: V → K，也是连续和线性的，且范数与φ相同（关于线性映射的范数的讨论，参见巴拿赫空间）。也就是说，在赋zh-tw:范向量空间的范畴中，空间K是一个内射对象。

如果V是一个赋zh-tw:范向量空间，其子空间为U（不一定是封闭的），且z是V的一个元素，不在U的闭包 (拓扑学)|闭包内，那么存在一个连续线性映射ψ: V → K，对于U内的所有x都满足ψ(x) = 0，ψ(z) = 1，且||ψ|| = 1/dist(z,U)。

哈恩-巴拿赫定理的相关内容

哈恩-巴拿赫定理的另外一种形式，称为哈恩-巴拿赫分离定理。它在凸几何中有许多用途。

定理：设V为 $\mathbb K = \mathbb R$ 或 $\mathbb C$ 上的一个拓扑向量空间，A和B是V的非空凸子集。假设 $A \cap B = \varnothing$ 。那么：

如果A是开集，那么存在一个连续线性映射 $\lambda\colon V \to \mathbb K$ 和 $t \in \mathbb R$ ，使得对于所有的 $a \in A$ 和 $b \in B$ ，都有 $\operatorname{Re}\,\lambda(a) < t \leq \operatorname{Re}\,\lambda(b)$ 。

如果V是局部凸的，A是紧集，且B是闭集，那么存在一个连续线性映射 $\lambda\colon V \to \mathbb K$ 和 $s, t\in \mathbb R$ ，使得对于所有的 $a \in A$ 和 $b \in B$ ，都有 $\operatorname{Re}\,\lambda(a) < t < s < \operatorname{Re}\,\lambda(b)$ 。

哈恩-巴拿赫定理与选择公理的关系

前面已经提到，从选择公理可以推出哈恩-巴拿赫定理。然而，反过来不成立。注意超滤子引理比选择公理更弱，但从它也可以推出哈恩-巴拿赫定理（反过来则不行）。实际上，哈恩-巴拿赫定理还可以用比超滤子引理更弱的假设来证明。对于可分空间|可分巴拿赫空间，Brown和Simpson证明了哈恩-巴拿赫定理可以从WKL0——一个二阶算术的弱子系统推出。