古尔丁定理 – 12Reads管理百科

什么是古尔丁定理

古尔丁定理是指最初由古希腊的帕普斯发现，后来在16世纪保罗•高尔丁又重新发现的数学定理。

古尔丁定理的运用

古尔丁定理求表面积

有一条平面曲线，跟它的同一个平面上有一条轴。由该平面曲线以该条轴与旋转而产生的旋转曲面的表面积A，等于曲线的长度s乘以曲线的几何中心经过的距离d1：A = sd1。

例：设环面圆管半径为r，圆管中心到环面中心距离为R，把环面看成上面提到的曲线，其几何中心是圆管中心。所以环面表面积为(2πr)(2πR) = 4π2rR

若有平面连续曲线y = f(x)，求x在时，曲线以x轴旋转所得的曲面表面积。可考虑一小段曲线，其几何中心便是y，曲线长度为 $\sqrt{1+(\frac{\mathrm{d}y}{\mathrm{d}x})^2}$ ，因此这个曲面的表面积便是： $2 \pi \int_a^b y \sqrt{1+(\frac{\mathrm{d}y}{\mathrm{d}x})^2} \; \mathrm{d}x$ 。

古尔丁定理求体积

由平面形状绕和它的同一个平面上的轴旋转而产生的旋转体的体积V，等于平面形状面积S乘以平面形状的几何中心经过的距离d1的积：V = Sd1。

再考虑一般平面曲线下的面积的情况，可得旋转体体积 $V = \pi \int_a^b y^2 \; \mathrm{d}x$ 。