协同波动溢出 – 12Reads管理百科

什么是协同波动溢出

协同波动溢出是指与一个金融市场存在相互影响的多个金融市场的波动,通过协同作用传递到一个金融市场。

协同波动溢出的分析

协同波动溢出可能存在于不同地域的市场之间，也可能存在于不同类型的金融市场之间，如多个股票市场与一个股票市场、多个外汇市场与一个外汇市场、多个债券市场与一个债券市场之间等。

通过方程σ=a0+ $\sum_{s=1}^p a_s u_{t-s}^2$ + $\sum_{l=1}^q \beta_l \sigma_{t-1}^2$ 判断单个金融市场对一个金融市场的波动溢出是比较合适的，但不能判断多个金融市场对一个金融市场的协同波动溢出，这是由于多个金融市场的波动之间存在着相关关系，不能将多个金融市场的波动数据同时代人到方程σ=a0+ $\sum_{s=1}^p a_s u_{t-s}^2$ + $\sum_{l=1}^q \beta_l \sigma_{t-1}^2$ 中。因此，要先对这些金融市场波动数据进行独立成分分析，用独立成分数据代替这些金融市场波动数据，从而分析判断多个金融市场对一个金融市场是否存在协同波动溢出影响。

1、独立成分分析(ICA)

独立成分分析是从多元(多维)统计数据中寻找潜在因子或成分的一种方法。ICA的出发点非常简单，它假设成分是统计独立的，而且还假设独立成分是非高斯分布的。ICA与其他方法重要的区别在于，它寻找满足统计独立和非高斯的成分。

(1)ICA模型。假设共有k个股票市场日收益率对一个股票市场的日收益率产生波动溢出，k个股票市场日收益率的波动记为x1，…，xk，则标准的ICA模型为：

X=As

$X=\begin{Bmatrix} X_{11} & X_{12} & \cdots & X_{1T} \\ X_{21} & X_{22} & \cdots & X_{2T} \\ \cdots & \cdots & \cdots & \cdots \\ X_{k1} & X_{k2} & \cdots & X_{kT} \end{Bmatrix}$ ，
$A=\begin{Bmatrix} a_{11} & X_{12} & \cdots & X_{1k} \\ a_{21} & a_{22} & \cdots & a_{2k} \\ \cdots & \cdots & \cdots & \cdots \\ a_{k1} & a_{k2} & \cdots & a_{kk} \end{Bmatrix}$ ，
$s=\begin{Bmatrix} s_{11} & s_{12} & \cdots & s_{1T} \\ s_{21} & s_{22} & \cdots & s_{2T} \\ \cdots & \cdots & \cdots & \cdots \\ s_{k1} & s_{k2} & \cdots & s_{kT} \end{Bmatrix}$

X表示可观测到的混合信号，这里表示由尼个股票市场日收益率的波动数据组成的矩阵；5表示源信号，即由各独立成分组成的矩阵；A表示未知的混合矩阵。该模型表示被观察到的数据是如何由独立成分混合而产生的。

如果能计算出A的逆矩阵W(称为分离或解混矩阵)，则独立成分5可由下式得到：

s=WX

W= $\begin{Bmatrix} w_{11} & w_{12} & \cdots & w_{1k} \\ w_{21} & w_{22} & \cdots & w_{2k} \\ \cdots & \cdots & \cdots & \cdots \\ w_{k1} & w_{k2} & \cdots & w_{kk} \end{Bmatrix}$

Hyvirinen等(2001)给出了对ICA模型估计的假设条件：①各个独立成分之间是相互统计独立的，即从随机变量sit(i=1,2,…,k)的信息中不能得到随机变量sjt(j≠i)的任何信息；②独立成分是服从非高斯分布的，直观地说，高斯信息太过于“简单”，真正有意义的信息是服从非高斯分布的信息，在标准的独立成分分析中最多只允许有一个成分服从高斯分布；③混合矩阵A是方阵，即独立成分的个数等于观测混合信号的个数，进一步假设混合矩阵A是可逆的，这可以使得计算简单化，求混合矩阵A就等价于求它的逆矩阵w。

(2)数据的中心化。为了简化算法，可以使混合变量为零均值，即观测混合数据Xit减去样本均值：

Xit=Xit– $\bar X_i$ t=1,2,…,T

由Xit所组成的矩阵为Xc。根据方程s=WX可知独立成分也是零均值的，这是因为混合矩阵在预处理之后保持不变，而且E(s)=WE(Xc)。对于零均值的数据，用算法估计出混合矩阵和独立成分之后，减掉的均值可以通过将WE(x)加到零均值的独立成分上来进行重构。

(3)白化(Whitening)。为了降低混合矩阵参数的个数，需要对中心化的数据进行白化处理。矩阵的白化意味着将观测数据矩阵Xc进行线性变换，即白化的矩阵z为：

z=E D − 1 / 2ETXc

其中，E为E( $X_c X_c^T$ )的特征向量组成的正交矩阵，D为它的特征值组成的对角矩阵。

(4)ICA估计。对于独立成分分析来说，需要找到度量统计独立性的一些方法或目标函数，即当目标函数达到极大或极小时，可以认为达到了独立成分分解的要求，即

maxE

s.t.WTW=I

芬兰学者Hyvirinen等(2001)将独立成分分析方法形象的表示为：独立成分分析方法=目标函数+优化方法，并提出了基于近似负熵的快速独立成分分析方法(称为FastICA算法)。

负熵是基于信息论中熵的概念，随机变量的熵与它所给出的信息有关，随机变量越没有结构、越无序，它的熵越大。密度函数为P(y)的随机变量y的负熵J定义为J(y)=H(ygauss)-H(y)(Cover，1991)，其中H(·)是熵函数，y(gauss)表示服从高斯分布的随机变量，且与随机变量y具有相同的方差。为了便于计算，Hyvfirinen(1998)给出了负熵的一个近似表达式(随机变量假设为零均值且具有单位方差)：

$J(y) \infty ^2$

其中，v是具有零均值且与y具有相同单位方差的高斯随机变量，G(·)是非二次函数。Hyvfirinen给出了G(·)的较好地表达式：

G(y)=(log cosh a1y)/a1或G(y)=-exp(-y2/2)

其中，1≤a_1≤2，a_1经常取1。G(·)的一阶导数g(·)为：

g(y)=tanh(a1y)或g(y)=yexp(-y2/2)

基于近似负熵的表达式，快速独立成分分析步骤为：第一，选择一个正交矩阵W作为初始点；第二，计算W + =E{zg(WTz)}-E{g'(Wtz)}W，其中z是Xit经过中心化和白化的数据所组成的矩阵；第三，计算W=W + / $\rVert$ W + $\rVert$ ，如果W收敛，则得到解混矩阵w，否则重复进行第二步。

2、协同波动溢出判断

由于独立成分分析可以将k个股票市场日收益率的波动X1t,…,Xkt转换成新指标s1t,…，skt，各新指标彼此之问是统计独立的，因而就可以将新指标s1t,…,skt同时作为一个股票市场日收益率的解释变量来研究k个股票市场日收益率对一个股票市场日收益率协同波动溢出问题。由此，方程(3)改写为：

由于独立成分s1t,…,skt是根据方程s=WX得到的，即独立成分矩阵s是由k个股票市场日收益率波动数据所组成的矩阵X乘以解混矩阵W得到的，任何一个独立成分si都包含了k个股票市场日收益率波动的信息，因此，任何一个独立成分si均可以认为是k个股票市场日收益率波动的协同影响。在给定的显著水平下，若任何一个参数bi的t统计量显著不为零，说明k个股票市场日收益率对一个股票市场日收益率R产生协同波动溢出；若全部参数bi的t统计量显著为零，则说明k个股票市场日收益率对一个股票市场日收益率Rt不产生协同波动溢出。