简介/分数

分数

1.
数学名词。表示是一个单位的几分之几的数。

2.评定成绩或胜负时所记分的数目。

甘铁生《“现代派”茶馆》：“我们考，凭分数，凭本事。”

3.规定人数，分任职务。指军队的组织编制。

《孙子·势篇》：“凡治众如治寡，分数是也。”李贽注：“分，谓偏裨卒伍之分；数，谓十百千万之数各有统制，而大将总其纲领。”《淮南子·本经训》：“计人多少众寡，使有分数。筑城掘池，设机械险阻以为备。”《晋书·孝友传·庾衮》：“分数既明，号令不二。”

4. 指区分部署。

《晋书·傅玄传》：“农以丰其食，工以足其器，商贾以通其货。故虽天下之大，兆庶之众，无有游手。分数之法，周备如此。”

5.数量；程度。

唐
元稹《中书省议赋税及铸钱等状》：“臣等约计天下百姓有铜器用度者，分数无多，散纳诸使，斤两盖寡。” 宋
王安中《清平乐·和晁倅》词：“花时微雨，未减春
分数。”

6.指
比例。

宋
苏辙《乞废忻州马城池盐状》：“其盐夹硝，味苦，人不愿买。故自四五年来作分数抑卖与铺户。”

7.法度；规范。

《三国志·魏志·
刘劭传》：“文学之士嘉其推步详密，法理之士明其分数精比。” 三国 魏 刘劭 《人物志·接识》：“法制之人，以分数为度，故能识较方直之量，而不贵变化之术。” 明
谢肇淛《五杂俎·人部一》：“它如
管辂之卜，
华佗之医……莫不皆然，后人失其分数，思议不及，遂加傅会，以为神授。”

8.犹天命，天数。

明
徐渭《又启诸南明侍郎》：“伏念 渭 小人，立身无状，堕囚有年，等诸分数，爱欲其生不胜恶欲其死之多。”《
醒世姻缘传》第二八回：“谁知这人生在世，原来不止於一饮一啄都有前定，就是烧一根柴，使一碗水，也都有一定的分数。”

数学术语/分数

定义

分数把单位“1”平均分成若干份，表示这样的一份或几份的数叫做真分数。分母表示把一个物体平均分成几份,分子表示取了其中的几份。

分子在上分母在下，也可以把它当做
除法来看，用分子除以分母（因0在除法不能做除数，所以分母不能为0（例10/0，表示把单位“1”平均分0份，取10份，完全没有意义））相反除法也可以改为用分数表示。

百分数与分数的区别　

（1）意义不同，百分数只表示两个数的倍比关系，不能带单位名称；分数既可以表示具体的数，又可以表示两个数的关系，表示具体数时可带单位名称。

例子：能说7/10米，不能说70%米。

（2）百分数的分子可以是
整数，也可以是
小数；而分数的分子不能是小数只是除0以外的自然数；百分数不可以
约分，而分数一般通过约分化成
最简分数。

例子：能说42.6%，不能说42.6/100；42%不能约分，42/100可约分为21/50

（3）任何一个百分数都可以写成分母是100的
分数，而
分母是100的分数并不都具有百分数的意义。

例子：61%=61/100，但61/100没有61%的意义

（4）应用范围的不同，百分数在生产和生活中，常用于调查、
统计、分析和比较，而分数常常在计算、测量中得不到整数结果时使用。

性质

2 →分子
－→分数线

3→
分母
读作：三分之二
写作：
2
———
3
分数中间的一条横线叫做
分数线，分数线上面的数叫做
分子，分数线下面的数叫做
分母。

读作几分之几。

分数可以表述成一个除法算式：如二分之一等于1除以2。其中，1 分子等于
被除数，－ 分数线等于
除号，2 分母等于除数，而0.5
分数值则等于商。

分数还可以表述为一个比，例如；二分之一等于1：2，其中1分子等于前项，一 分数线等于比号，2分母等于后项，而0.5分数值则等于
比值。分数的基本性质：分数的分子和分母都乘以或都除以同一个不为零的数，所得到的分数与原分数的大小相等。a/b=a/b=a:b(b不等于零)

分数还有一个有趣的性质：一个分数不是
有限小数，就是无限循环小数，像π等这样的
无限不循环小数，是不可能用分数代替的。

分数的另一个性质是：当分子与分母同时乘或除以相同的数，分数值不会变化。因此，每一个分数都有无限个与其相等的分数。利用此性质，可进行约分与通分。

分数起源/分数

分数由来

说分数的历史，得从3000多年前的埃及说起。
3000多年前，古埃及为了在不能分得整数的情况下表示数，用特殊符号表示分子为1的分数。2000多年前， 中国有了分数，但是，秦汉时期的分数的表现形式跟现在不一样。后来， 印度出现了和我国相似的分数表示法。再往后， 阿拉伯人发明了分数线，今天分数的表示法就由此而来。
200多年前，瑞士 数学家欧拉，在《通用 算术》一书中说，要想把7米长的一根绳子分成三等份是不可能的，因为找不到一个合适的数来表示它．如果我们把它分成三等份，每份是7/3米．像7/3就是一种新的数，我们把它叫做分数。

名称起源

为什么叫它分数呢？分数这个名称直观而生动地表示这种数的特征。例如，一个西瓜四个人平均分，不把它分成相等的四块行吗？从这个例子就可以看出，分数是度量和数学本身的需要－－除法运算的需要而产生的。

分数使用

最早使用分数的国家是中国。我国古代有许多关于分数的记载。在《 左传》一书中记载，春秋时代，诸侯的城池，最大不能超过周国的1/ 3，中等的不得超过1/5 ，小的不得超过1/9。
秦始皇时期，拟定了一年的天数为365又1/4天。
《 九章算术》是我国1800多年前的一本数学专著，其中第一章《 方田》里就讲了分数四则 算法．
在古代，中国使用分数比其他国家要早出一千多年．所以说中国有着悠久的历史，多么灿烂的分数的文化啊！

分数化小数

最简分数化小数是先看分母的素 因数有哪些，如果只有2和5，那么就能化成有限小数，如果不是，就不能化成有限小数。不是最简分数的一定要约分方可判断。

小数化分数

有限小数化分数，小数部分有几个零就有几位分母。例：0.45=45/100=9/20
如是 纯循环小数，循环节有几位，分母就有几个9。例：0.3（3循环）=3/9=1/3
如是 混循环小数，循环节有几位，分母就有几个9；不循环的 数字有几位，9后面就有几个0，分子是第二个循环节以前的小数部分组成的数与小数部分中不循环部分组成的数的差。例：0.12（2循环）=(12-1)/90=11/90
注意：最后一定要约分。

分数产生/分数

人类历史上最早产生的数是
自然数（非负
整数），以后在度量和平均分时往往不能正好得到整数的结果，这样就产生了分数。

用一个作标准的量（度量单位）去度量另一个量，只有当量若干次正好量尽的时候，才可以用一个整数来表示度量的结果。如果量若干次不能正好量尽，有两种情况：

例如，用b作标准去量a：　

一种情况是把b分成n等份，用其中的一份作为新的度量单位去度量a，量m次正好量尽，就表示a含有把b分成n等份以后的m个等份。例如，把b分成4等份，用其中的一份去量a，量9次正好量尽．在这种情况下，不能用一个整数表示用b去度量a的结果，就必须引进一种新的数–分数来表示度量的结果。

另一种情况是无论把b分成几等份，用其中的一份作为新的度量a,都不能恰好量尽（如用圆的
直径去量同一圆的
周长）。在这种情况下，就需要引进一种新的数-
无理数。在整数除法中，两个数相除，有时不能得到整数商。为了使除法运算总可以施行，也需要引进新的一种数-分数。

综上所述，分数是在实际度量和均分中产生的。

分数分类/分数

分类

1、分数的三种类型：
真分数，
假分数，
带分数。

2、
正分数和
负分数。但在数学界中一般以认同真分数和假分数这两种说法为多。

一切分数又都可以写成10∧a分数的形式。

介绍

正真分数的值小于1。分子比分母小，

例：1/3

假分数的值大于1，或者等于1。分子比分母大或相等（假分数包括带分数）

例：5/3、7/7、11/10

带分数的值大于1。

例：1 7/9、4 1/6

注意事项/分数

①分母不能为0，否则无意义，分子可以等于0，相当于0除以任何一个数，不论分母是多少，答案都是0。

②分数中的分子或分母经过
约分后不能出现无理数（如2的
平方根），否则就不是分数。

③一个最简分数的分母中只有2和5两个质
因数就能化成
有限小数；如果最简分数的分母中只含有2和5以外的质因数那么就能化成纯循环小数；如果最简分数的分母中既含有2或5两个质因数也含有2和5以外的质因数那么就能化成
混循环小数。（注：如果不是一个最简分数就要先化成最简分数再判断；分母是2或5的最简分数一定能化成有限小数，分母是其他
质数的最简分数一定能化成纯循环小数）

分数历史/分数

在历史上，分数几乎与
自然数一样古老。早在人类文化发明的初期，由于进行测量和均分的需要，引入并使用了分数。

外国

在许多民族的古代文献中都有关于分数的记载和各种不同的分数制度。早在
公元前2100多年，古代巴比伦人（现处
伊拉克一带）就使用了分母是60的分数。

公元前1850年左右的
埃及算学文献中，也开始使用分数，不过那时候古埃及的分数只是分数单位。

中国

我国春秋时代（公元前770年～前476年）的《
左传》中，规定了诸侯的都城大小：最大不可超过周文王国都的三分之一，中等的不可超过五分之一，小的不可超过九分之一。
秦始皇时代的
历法规定：一年的天数为三百六十五又四分之一。这说明：分数在我国很早就出现了，并且用于社会生产和生活。

分数意义/分数

详细介绍

一个物体，一个图形，一个计量单位，都可看作单位“1”。把单位“1”平均分成几份，表示这样一份或几份的数叫做分数。在分数里，表示把单位“1”平均分成多少份的叫做分母，表示有这样多少份的叫做分子；其中的一份叫做分数单位。

n/1是不是分数存在争议。一种说法认为它是分数，进而1/1是分数单位。另一种说法（网友奇东等）认为n/1为整数，分数的分母应该大于或等于2，所以最大的分数单位应该是1/2。

要了解小数的意义，可从分数的意义着手，分数的意义可从子分割及合成活动来解释，当一个整体（指基准量）被等分后，在集聚其中一部分的量称为“分量”，而“分数”就是用来表示或纪录这个“分量”。例如：2/5是指一个整数被分成五等分后，集聚其中二分的“分量”。当整体被分成十等分、百等分、千等分……等时，此时的分量，就使用另外一种纪录的方法－小数。例如1/10记成0.1、2/100记成0.02、5/1000记成0.005……等。其中的“。”称之为
小数点，用以分隔
整数部分与无法构成整数的小数部分。整数非0者称为带小数，若为0则称纯小数。由此可知，小数的意义是分数意义的一环。

分子与分母同时乘或除以一个相同的数（0除外），分数的大小不变.这就是分数的基本性质。

算筹是中国古代的计算工具，真正意义上的中国古代数学体系形成于自西汉至南北朝的三、四百年期间。《算数书》成书于西汉初年，是传世的中国最早的数学专着，它是1984年由考古学家在湖北江陵张家山出土的
汉代竹简中发现的。《
周髀算经》编纂于西汉末年，它虽然是一本关于“盖天说”的天文学著作，但是包括两项数学成就－－（1）
勾股定理的特例或普遍形式（“若求邪至日者，以日下为句，日高为股，句股各自乘，并而
开方除之，得邪至日。”－－这是中国最早关于勾股定理的书面记载）；（2）测太阳高或远的“陈子测日法”。

《九章算术》在中国古代数学发展过程中占有非常重要的地位。它经过许多人整理而成，大约成书于东汉时期。全书共收集了246个数学问题并且提供其解法，主要内容包括分数四则和比例算法、各种
面积和
体积的计算、关于勾股测量的计算等。在代数方面，《九章算术》在世界数学史上最早提出
负数概念及正负数加减法法则；现在中学讲授的
线性方程组的解法和《九章算术》介绍的方法大体相同。注重实际应用是《九章算术》的一个显著特点。该书的一些知识还传播至印度和阿拉伯，甚至经过这些地区远至欧洲。

《九章算术》标志以筹算为基础的中国古代数学体系的正式形成。

中国古代数学在三国及两晋时期侧重于理论研究，其中以
赵爽与
刘徽为主要代表人物。

赵爽学术成就体现于对《周髀算经》的阐释。在《勾股圆方图注》中，他还用
几何方法
证明了勾股定理，其实这已经体现“割补原理”的方法。用几何方法求解二次方程也是赵爽对中国古代数学的一大贡献。三国时期魏人刘徽则注释了《九章算术》，其著作《九章算术注》不仅对《九章算术》的方法、
公式和定理进行一般的解释和推导，而且系统地阐述了中国传统数学的理论体系与数学原理，并且多有创造。其发明的“割圆术”（圆内接正多边形面积无限逼近圆面积），为
圆周率的计算奠定了基础，同时刘徽还算出圆周率的近似值——“3927/1250（3.1416）”。他设计的“牟合方盖”的几何
模型为后人寻求球体积公式打下重要基础。在研究
多面体体积过程中，刘徽运用极限方法证明了“阳
马术”。另外，《海岛算经》也是刘徽编撰的一部数学论着。

南北朝是中国古代数学的蓬勃发展时期，计有《
孙子算经》、《夏侯阳算经》、《张丘建算经》等算学著作问世。

祖冲之、祖暅父子的工作在这一时期最具代表性。他们着重进行数学思维和数学推理，在前人刘徽《九章算术注》的基础上前进了一步。根据史料记载，其著作《缀术》（已失传）取得如下成就：①圆周率精确到小数点后第六位，得到3.1415926<π><3.1415927，并求得π的
约率为22/7，
密率为355/113，其中密率是分子分母在1000以内的最佳值；欧洲直到16世纪德国人鄂图（Otto）和荷兰人安托尼兹（Anthonisz）才得出同样结果。②祖暅在刘徽工作的基础上推导出球体体积公式，并提出二立体等高处截面积相等则二体体积相等（“幂势既同则积不容异”）定理；欧洲17世纪意大利数学家卡瓦列利（Cavalieri）才提出同一定理……祖氏父子同时在天文学上也有一定贡献。

隋唐时期的主要成就在于建立中国数学
教育制度，这大概主要与国子监设立算学馆及
科举制度有关。在当时的算学馆《
算经十书》成为专用教材对学生讲授。《算经十书》收集了《周髀算经》、《九章算术》、《海岛算经》等10部数学著作。所以当时的数学教育制度对继承古代数学经典是有积极意义的。

公元600年，隋代刘焯在制订《皇极历》时，在世界上最早提出了等间距二次内插公式；唐代僧一行在其《
大衍历》中将其发展为不等间距二次内插公式。

从公元11世纪到14世纪的宋、元时期，是以筹算为主要内容的中国古代数学的鼎盛时期，其表现是这一时期涌现许多杰出的数学家和数学著作。中国古代数学以宋、元数学为最高境界。在世界范围内宋、元数学也几乎是与阿拉伯数学一道居于领先集团的。

贾宪在《黄帝九章算法细草》中提出开任意高次幂的“增乘开方法”，同样的方法至1819年才由英国人霍纳发现；贾宪的
二项式定理系数表与17世纪欧洲出现的“巴斯加三角”是类似的。遗憾的是贾宪的《黄帝九章算法细草》书稿已佚。 秦九韶是南宋时期杰出的数学家。1247年，他在《
数书九章》中将“增乘开方法”加以推广，论述了高次方程的数值解法，并且例举20多个取材于实践的高次方程的解法（最高为十次方程）。16世纪意大利人菲尔洛才提出三次方程的解法。另外，秦九韶还对一次
同余式理论进行过研究。

李冶于1248年发表《测圆海镜》，该书是首部系统论述“天元术”（一元高次方程）的著作，在数学史上具有里程碑意义。尤其难得的是，在此书的序言中，李冶公开批判轻视科学实践活动，将数学贬为“贱技”、“玩物”等长期存在的士风谬论。

公元1261年，南宋杨辉（生卒年代不详）在《详解九章算法》中用“垛积术”求出几类高阶等差
级数之和。公元1274年他在《乘除通变本末》中还叙述了“九归捷法”，介绍了筹算乘除的各种运算法。公元1280年，元代王恂、
郭守敬等制订《授时历》时，列出了三次差的内插公式。郭守敬还运用几何方法求出相当于现在
球面三角的两个公式。

公元1303年，元代朱世杰（生卒年代不详）着《四元玉鉴》，他把“天元术”推广为“四元术”（四元高次联
立方程）,并提出消元的解法，欧洲到公元1775年法国人别朱（Bezout）才提出同样的解法。朱世杰还对各有限项级数求和问题进行了研究，在此基础上得出了高次差的内插公式，欧洲到公元1670年英国人格里高利（Gregory）和公元1676一1678年间牛顿（Newton）才提出内插法的一般公式。

14世纪中、后叶明王朝建立以后，统治者奉行以八股文为特征的科举制度，在国家科举考试中大幅度消减数学内容，于是自此中国古代数学便开始呈现全面衰退之势。

明代
珠算开始普及于中国。1592年程大位编撰的《直指算法统宗》是一部集珠算理论之大成的著作。但是有人认为，珠算的普及是抑制建立在筹算基础之上的中国古代数学进一步发展的主要原因之一。

由于演算天文历法的需要，自16世纪末开始，来华的西方传教士便将西方一些数学知识传入中国。数学家徐光启向意大利传教士利马窦学习西方数学知识，而且他们还合译了《
几何原本》的前6卷（1607年完成）。徐光启应用西方的逻辑推理方法论证了中国的勾股测望术，因此而撰写了《测量异同》和《勾股义》两篇著作。邓玉函编译的《大测》〔2卷〕、《割圆八线表》〔6卷〕和罗雅谷的《测量全义》〔10卷〕是介绍西方三角学的著作。

此外在数学方面鲜有较大成就取得，中国古代数学自此便衰落了。

数学知识的原始积累

数学知识伴随着人类文明的产生而起源，并率先在几个
文明古国开始了漫长的原始积累过程，人类的祖先为我们留下了珍贵的、可供研究的原始资料，最著名的古埃及象形文字纸草书和巴比伦
楔形文字泥板书，较为集中地反映了古埃及数学和巴比的水平，它们被视为人类早期数学知识积累的代表。

古埃及纸草书，是用尼罗河流域沼泽地水生植物的茎皮压制、粘连成纸草卷，用天然涂料液书写而成的。有两份纸草书直接书写着数学内容。一份叫做“莫斯科纸草”，大约出自公元前1850年左右，它包括25个数学问题。这份纸草书于1893年被俄国人戈兰尼采夫买得，也称之为“戈兰尼采夫纸草”，现藏莫斯科美术博物馆。另一份叫做“莱因特纸草”，大约成书于公元前1650年左右，开头写有：“获知一切奥秘的指南”的字样，接着是作者阿默士从更早的文献中抄下来的85个数学问题。这份纸草书于1858年被格兰人莱因特购得，后为博物馆收藏。这两份草书是我们研究古埃及数学的重要资料，其内容丰富，记述了古埃及的记数法、整数
四则运算、
单位分数的独特用法、试位法、求
几何图形的面积、体积问题，以及数学在生产、生活中的应用问题。

古巴比伦泥板书，是用截面呈三角形的利器作笔，在将干未干的胶泥板上刻写而成的，由于字体为楔形笔划，故称之为楔形文字泥板，从19世纪前期至今，相继出土了这种泥板有50万块之多。它们分别属于公元前2100年苏美尔文化末期，公元前1790年至公元前1600年间汉莫拉比时代和公元前600年至公元300年间新巴比伦帝国及随后的波斯、塞流西得时代。其中，大约有300至400块是数学泥板，数学泥板中又以数表居多，据信这些数学表是用来运算和解题的。这些古老的泥板，现在散藏于世界各地许多博物馆，并且被一一编号，成为我们研究巴比伦数学最可靠的资料。巴比伦数学从整体上讲比古埃及数学高明，古巴比伦人采用60进位制记数法，并计算出
倒数表、平方表、立方表、平方根表和立方根表，其中2的平方根近似为1.414213…。巴比伦的代数有相当水平，他们用语言文字叙述方程问题及其解法，常用特殊的“长”、“宽”、“面积”等字眼表示未知量，除求解二次、三次方程的问题之外，也有一些
数论性质的问题。巴比伦的几何似乎没有古埃及的几何那么重要，只是收罗了一些计算简单图形的面积、体积的法则，也许他们只是在解决实际问题时才搞点几何。此外，巴比伦数学中有很明显的商业、农业和天文的应用背景。

我们可以说，在人类早期数学知识积累过程中，由于计数物件的需要，产生了自然数，随着记数法的产生和发展，逐渐形成了运算，导致算术的产生；由于计量实物的需要，产生了简单的几何，随着农业、建筑业、手工业及天文观测的发展，逐渐积累了有关这些的基本性质和相互关系的经验知识，于是
几何学萌芽了；由于商业计算、工程计算、天文的需要，在算术计算技巧的基础上，逐渐积累起代数学基本知识。但是，在这个阶段上，直到公元前6世纪，无论如何也找不到我们今天所谓的“理性的数学”，而只是一种初级的“经验的数学”。

表示一个多位数字时，采用十进位值制，各位值的数目从左到右排列，纵横相间〔法则是：一纵十横，百立千僵，千、十相望，万、百相当〕，并以空位表示零。算筹为加、减、乘、除等运算建立起良好的条件。

在几何学方面《史记．夏本记》中说夏禹治水时已使用了规、矩、准、绳等作图和测量工具，并早已发现“勾三股四弦五”这个勾股定理〔西方称毕氏定理〕的特例。战国时期，齐国人着的《考工记》汇总了当时手工业技术的规范，
包含了一些测量的内容，并涉及到一些几何知识，例如角的概念。

战国时期的百家争鸣也促进了数学的发展，一些学派还总结和概括出与数学有关的许多抽象概念。著名的有《墨经》中关于某些几何名词的定义和
命题，例如：“圆，一中同长也”、“平，同高也”等等。墨家还给出有穷和无穷的定义。《庄子》记载了惠施等人的名家学说和桓团、公孙龙等辩者提出的论题，强调抽象的
数学思想，例如“至大无外谓之大一，至小无内谓之小一”、“一尺之棰，日取其半，万世不竭”等。这些许多几何概念的定义、极限思想和其他数学命题是相当可贵的数学思想，但这种重视抽象性和逻辑严密性的新思想未能得到很好的继承和发展。

此外，讲述阴阳八卦，预言吉凶的《易经》已有了组
合数学的萌芽，并反映出
二进制的思想。

汉唐初创时期

这一时期包括从秦汉到隋唐1000多年间的数学发展，所经历的朝代依次为秦、汉、魏、晋、南北朝、隋、唐。

秦汉是中国古代数学体系的形成时期。为使不断丰富的数学知识系统化、理论化，数学方面的专书陆续出现。

西汉末年〔公元前一世纪〕编纂的天文学著作《周髀算经》在数学方面主要有两项成就：(1)提出勾股定理的特例及普遍形式；(2)测太阳高、远的陈子测日法，为后来重差术的先驱。此外，还有较复杂的开方问题和分数运算等。

《九章算术》是一部经几代人整理、删补和修订而成的古代数学经典著作，约成书于东汉初年〔公元前一世纪〕。全书采用问题集的形式编写，共收集了246个问题及其解法，分属于方田、粟米、衰分、少广、商功、均输、盈不足、方程和勾股九章。主要内容包括分数四则和比例算法、各种面积和体积的计算、关于勾股测量的计算等。在代数方面，《方程》章中所引入的负数概念及正负数加减法法则，在世界数学史上都是最早的记载；书中关于线性方程组的解法和现在中学讲授的方法基本相同。就《九章算术》的特点来说，它注重应用，注重理论联系实际，形成了以筹算为
中心的数学体系，对中国古算影响深远。它的一些成就如十进位值制、今有术、盈不足术等还传到印度和阿拉伯，并通过这些国家传到欧洲，促进了世界数学的发展。

魏晋时期中国数学在理论上有了较大的发展。其中赵爽和刘徽的工作被认为是中国古代数学理论体系的开端。赵爽是中国古代
对数学定理和公式进行证明的最早的数学家之一，对《周髀算经》做了详尽的注释。刘徽注释《九章算术》，不仅对原书的方法、公式和定理进行一般的解释和推导，且在论述过程中多有创新，更撰写《海岛算经》，应用重差术解决有关测量的问题。刘徽其中一项重要的工作是创立割圆术，为圆周率的研究工作奠定理论基础和提供了科学的算法。

南北朝时期的社会长期处于战争和分裂状态，但数学的发展依然蓬勃。《孙子算经》、《夏侯阳算经》、《张丘建算经》就是这个时期的作品。《孙子算经》给出“物不知数”问题，导致求解一次同余组问题；《张丘建算经》的“百鸡问题”引出三个
未知数的
不定方程组问题。 祖冲之、祖日桓父子的工作在这一时期最具代表性，他们在《九章算术》刘徽注的基础上，将传统数学大大向前推进了一步，成为重视数学思维和数学推理的典范。他们同时在天文学上也有突出的贡献。其著作《缀术》已失传，根据史料记载，他们在数学上主要有三项成就：(1)计算圆周率精确到小数点后第六位，得到3.1415926 <π>< 3.1415927，并求得π的约率为22/7，密率为355/113；(2)得到祖 日桓定理〔幂势既同，则积不容异〕并得到球体积公式；(3)发展了二次与三次方程的解法。

唐朝在数学教育方面有长足的发展。656年国子监设立算学馆，设有算学
博士和助教，由太史令李淳风等人编纂注释《算经十书》〔包括《周髀算经》、《九章算术》、《海岛算经》、《孙子算经》、《张丘建算经》、《夏侯阳算经》、《缉古算经》、《五曹算经》、《五经算术》和《缀术》〕，作为算学馆学生用的课本。对保存古代数学经典起了重要的作用。

宋元全盛时期

唐朝亡后，五代十国仍是军阀混战的继续，直到北宋王朝统一了中国，农业、手工业、商业迅速繁荣，科学技术突飞猛进。从公元十一世纪到十四世纪〔宋、元两代〕，筹算数学达到极盛，是中国古代数学空前繁荣，硕果累累的全盛时期。这一时期出现了一批著名的数学家和数学著作，列举如下：贾宪的《黄帝九章算法细草》〔11世纪中叶〕，刘益的《议古根源》〔12世纪中叶〕，秦九韶的《数书九章》〔1247〕，李冶的《测圆海镜》〔1248〕和《益古演段》〔1259〕，杨辉的《详解九章算法》〔1261〕、《日用算法》〔1262〕和《杨辉算法》〔1274-1275〕，朱世杰的《
算学启蒙》〔1299〕和《四元玉鉴》〔1303〕等等。

高次方程数值解法； 天元术与四元术，即高次方程的立法与解法，是
中国数学史上首次引入符号，并用符号运算来解决建立高次方程的问题；

大衍求一术，即一次同余式组的解法，现在称为中国
剩余定理；

招差术和垛积术，即高次内插法和高阶等差级数求和。

另外，其他成就包括勾股形解法新的发展、解球面
直角三角形的研究、纵横图〔
幻方〕的研究、小数〔十进分数〕具体的应用、珠算的出现等等。

这一时期民间数学教育也有一定的发展，以及中国和伊斯兰国家之间的数学知识的交流也得到了发展。

西学输入时期

这一时期从十四世纪中叶明王朝建立到二十世纪清代结束共500多年。数学除珠算外出现全面衰弱的局面，当中涉及到中算的局限、十三世纪的考试制度中已删减数学内容、明代大兴八段考试制度等复杂的问题，不少中外数学史家仍探讨当中涉及的原因。十六世纪末，西方初等数学开始传入中国，使中国数学研究出现了一个中西融合贯通的局面。鸦片战争后，近代
高等数学开始传入中国，中国数学转入一个以学习西方数学为主的时期。直到十九世纪末，中国的近代数学研究才真正开始。

明代最大的成就是珠算的普及，出现了许多珠算读本，及至程大位的《直指算法统宗》〔1592〕问世，珠算理论已成系统，标志着从筹算到珠算转变的完成。但由于珠算流行，筹算几乎绝迹，建立在筹算基础上的古代数学也逐渐失传，数学出现长期停滞。

隋及唐初，
印度数学和天文学知识曾传入中国，但影响较细。到了十六世纪末，西方传教士开始到中国活动，和中国学者合译了许多西方数学专着。其中第一部且有重大影响的是意大利传教士利马窦和徐光启合译的《几何原本》前6卷〔1607〕，其严谨的逻辑体系和演译方法深受徐光启推崇。徐光启本人撰写的《测量异同》和《勾股义》便应用了《几何原本》的逻辑推理方法论证中国的勾股测望术。此外，《几何原本》课本中绝大部分的名词都是首创，且沿用至今。在输入的西方数学中仅次于几何的是三角学。在此之前，三角学只有零星的知识，而此后获得迅速发展。介绍西方三角学的著作有邓玉函编译的《大测》〔2卷，1631〕、《割圆八线表》〔6卷〕和罗雅谷的《测量全义》〔10卷，1631〕。在徐光启主持编译的《崇祯历书》〔137卷，1629-1633〕中，介绍了有关圆椎
曲线的数学知识。

入清以后，会通中西数学的杰出代表是梅文鼎，他坚信中国传统数学“必有精理”，对古代名著做了深入的研究，同时又能正确对待西方数学，使之在中国扎根，对清代中期数学研究的高潮是有积极影响的。与他同时代的数学家还有王锡阐和年希尧等人。

清康熙帝爱好科学研究，他“御定”的《数理精蕴》〔53卷，1723〕，是一部比较全面的初等数学书，对当时的数学研究有一定影响。

在研究传统数学时，许多数学家还有发明创造，例如有“谈天三友”之称的焦循、汪莱及李锐作出不少重要的工作。李善兰在《垛积比类》〔约1859〕中得到三角自乘垛求和公式，现在称之为“李善兰恒等式”。这些工作较宋元时期的数学进了一步。阮元、李锐等人编写了一部天文学家和数学家传记《畴人传》46卷〔1795-1810〕，开数学史研究之先河。

1840年鸦战争后，闭关锁国政策被迫中止。同文馆内添设“算学”，上海江南制造局内添设翻译馆，由此开始第二次翻译引进的高潮。主要译者和著作有：李善兰与英国传教士伟烈亚力合译的《几何原本》后9卷〔1857〕，使中国有了完整的《几何原本》中译本；《代数学》13卷〔1859〕；《代微积拾级》18卷〔1859〕。李善兰与英国传教士艾约瑟合译《
圆锥曲线说》3卷，华蘅芳与英国传教士傅兰雅合译《代数术》25卷〔1872〕，《微积溯源》8卷〔1874〕，《决疑数学》10卷〔1880〕等。在这些译着中，创造了许多
数学名词和术语，至今仍在应用。

1898年建立京师大学堂，同文馆并入。1905年废除科举，建立西方式学校教育，使用的课本也与西方其他各国相仿。

近现代数学发展时期

这一时期是从20世纪初至今的一段时间，常以1949年新中国成立为标志划分为两个阶段。

中国近现代数学开始于清末民初的留学活动。较早出国学习数学的有1903年留日的冯祖荀，1908年留美的郑之蕃，1910年留美的胡明复和赵元任，1911年留美的姜立夫，1912年留法的何鲁，1913年留日的陈建功和留比利时的熊庆来〔1915年转留法〕，1919年留日的
苏步青等人。他们中的多数回国后成为著名数学家和数学教育家，为中国近现代数学发展做出重要贡献。其中胡明复1917年取得美国哈佛大学博士学位，成为第一位获得博士学位的中国数学家。1920年姜立夫在天津南开大学创建数学系，1921年和1926年熊庆来分别在东南大学〔今南京大学〕和清华大学建立数学系，不久武汉大学、齐鲁大学、浙江大学、中山大学陆续设立了数学系，到1932年各地已有32所大学设立了数学系或数理系。1930年熊庆来在清华大学首创数学研究部，开始招收研究生，
陈省身、吴大任成为国内最早的数学研究生。三十年代出国学习数学的还有江泽涵〔1927〕、陈省身〔1934〕、华罗庚〔1936〕、许宝騄〔1936〕等人，他们都成为中国现代数学发展的骨干力量。同时外国数学家也有来华讲学的，例如英国的罗素〔1920〕，美国的伯克霍夫〔1934〕、奥斯古德〔1934〕、维纳〔1935〕，法国的阿达马〔1936〕等人。1935年中国数学会成立大会在上海召开，共有33名代表出席。

赵爽是三国时期吴人，在中国历史上他是最早对数学定理和公式进行证明的数学家之一，其学术成就体现于对《周髀算经》的阐释。在《勾股圆方图注》中，他还用几何方法证明了勾股定理，其实这已经体现“割补原理”的方法。用几何方法求解二次方程也是赵爽对中国古代数学的一大贡献。三国时期魏人刘徽则注释了《九章算术》，其著作《九章算术注》不仅对《九章算术》的方法、公式和定理进行一般的解释和推导，而且系统地阐述了中国传统数学的理论体系与数学原理，并且多有创造。其发明的“割圆术”（圆内接正多边形面积无限逼近圆面积），为圆周率的计算奠定了基础，同时刘徽还算出圆周率的近似值－－“3927/1250（3.1416）”。他设计的“牟合方盖”的几何模型为后人寻求球体积公式打下重要基础。在研究多面体体积过程中，刘徽运用极限方法证明了“阳马术”。另外，《海岛算经》也是刘徽编撰的一部数学论着

祖冲之、祖暅父子的工作在这一时期最具代表性。他们着重进行数学思维和数学推理，在前人刘徽《九章算术注》的基础上前进了一步。根据史料记载，其著作《缀术》（已失传）取得如下成就：①圆周率精确到小数点后第六位，得到3.1415926<π><3.1415927，并求得π的约率为22/7，密率为355/113，其中密率是分子分母在1000以内的最佳值；欧洲直到16世纪德国人鄂图（Otto）和荷兰人安托尼兹（Anthonisz）才得出同样结果。②祖暅在刘徽工作的基础上推导出球体体积公式，并提出二立体等高处截面积相等则二体体积相等（“幂势既同则积不容异”）定理；欧洲17世纪意大利数学家卡瓦列利（Cavalieri）才提出同一定理……祖氏父子同时在天文学上也有一定贡献。

从公元11世纪到14世纪的宋、元时期，是以筹算为主要内容的中国古代数学的鼎盛时期，其表现是这一时期涌现许多杰出的数学家和数学著作。中国古代数学以宋、元数学为最高境界。在世界范围内宋、元数学也几乎是与阿拉伯数学一道居于领先集团的。

贾宪在《黄帝九章算法细草》中提出开任意高次幂的“增乘开方法”，同样的方法至1819年才由英国人霍纳发现；贾宪的二项式定理系数表与17世纪欧洲出现的“巴斯加三角”是类似的。遗憾的是贾宪的《黄帝九章算法细草》书稿已佚。

秦九韶是南宋时期杰出的数学家。1247年，他在《数书九章》中将“增乘开方法”加以推广，论述了高次方程的数值解法，并且例举20多个取材于实践的高次方程的解法（最高为十次方程）。16世纪意大利人菲尔洛才提出三次方程的解法。另外，秦九韶还对一次同余式理论进行过研究。

公元1261年，南宋杨辉（生卒年代不详）在《详解九章算法》中用“垛积术”求出几类高阶等差级数之和。公元1274年他在《乘除通变本末》中还叙述了“九归捷法”，介绍了筹算乘除的各种运算法。公元1280年，元代王恂、郭守敬等制订公元1303年，元代朱世杰（生卒年代不详）着《四元玉鉴》，他把“天元术”推广为“四元术”（四元高次联立方程），并提出消元的解法，欧洲到公元1775年法国人别朱（Bezout）才提出同样的解法。朱世杰还对各有限项级数求和问题进行了研究，在此基础上得出了高次差的内插公式，欧洲到公元1670年英国人格里高利（Gregory）和公元1676一1678年间牛顿（Newton）才提出内插法的一般公式。

明代珠算开始普及于中国。1592年程大位编撰的《直指算法统宗》是一部集珠算理论之大成的著作。但是有人认为，珠算的普及是抑制建立在筹算基础之上的中国古代数学进一步发展的主要原因之一。

分数计算/分数

分数加减法

1、同分母分数相加减，分母不变，即分数单位不变，分子相加减，最后要
约分。

例1：2/9+5/9=2+5/9=7/9

例2：1/8+3/8=1+3/8=4/8=1/2

例3：5/9-1/9=5-1/9=4/9

例4：3/4-1/4=3-1/4=2/4=1/2

2．异分母分数相加减，先
通分，即运用分数的基本性质将异分母分数
转化为同分母分数，改变其分数单位而大小不变，再按同分母分数相加减法去计算，最后要约分。

例1：3/4+5/7=21/28+20/28=21+20/28=41/28

例2：5/24+1/8=5/24+3/24=5+3/24=8/24=1/3

例3：7/8-1/4=7/8-2/8=7-2/8=5/8

例4：8/15-1/5=8/15-3/15=8-3/15=5/15=1/3

分数乘除法

1、分数乘整数，分母不变，分子乘整数，最后要约分。

例1：4/5×3=4×3/5=12/5

例2：3/22×2=3×2/22=6/22=3/11

2．分数乘分数，用分子乘分子，用分母乘分母，最后要约分。

例1：5/6×1/3=5×1/6×3=5/18

例2：2/5×1/4=2×1/5×4=2/20=1/10

3．分数除以整数，分母不变，如果分子是整数的
倍数，则用分子除以整数，最后要约分。

例1：4/15÷2=4÷2/15=2/15

例2：42/30÷7=42÷7/30=6/30=1/5

4．分数除以整数，分母不变，如果分子不是整数的倍数，则用这个分数乘这个整数的
倒数，最后要约分。

例1：3/8÷2=3/8×1/2=3×1/8×2=3/16

例2：4/5÷6=4/5×1/6=4×1/5×6=4/30=2/15

5．分数除以分数，等于被除数乘除数的倒数，最后不是最简分数要约分。

例1：2/3÷3/4=2/3×4/3=2×4/3×3=8/9

例2：2/15÷1/3=2/15×3=2×3/15=6/15=2/5

分数计算参考程序

1、C语言程序。

例1：C语言分数计算参考程序。

main()

{

long a,b,c,d,aa,bb,cc,e,f;

char ch;

l1:printf(“输入两个分数及运算符：”);/*如2/3*7/6*/

scanf(“%ld/%ld%c%ld/%ld”,&a,&b,&ch,&c,&d);

if(ch==’+’)

{

aa=a*d+b*c;

bb=b*d;

}

if(ch==’-‘)

{

aa=a*d-b*c;

bb=b*d;

}

if(ch==’*’)

{

aa=a*c;

bb=b*d;

}

if(ch==’/’)

{

aa=a*d;

bb=b*c;

}

e=aa;f=bb;

if(aa

{

cc=aa;

aa=bb;

bb=cc;

}

do

{

cc=aa%bb;

if(cc!=0)

{aa=bb;bb=cc;}

}while(aa%bb!=0);

printf(“计算结果为：%ld/%ld”,e/bb,f/bb);

getch();

printf(“\n是否还要计算y/n”);

if(getch()==’y’)

{printf(“\n”);

goto l1;}

}

例2：C语言分数计算参考程序。

#include “stdio.h”

void main()

{char s;

int x1,y1,x2,y2,fenzi=1,fenmu=1,a,b,c;

printf(“请写入
分式：例如 1/2+1/3 然后，回车。\n”);

scanf(“%d/%d %c %d/%d”,&x1,&y1,&s,&x2,&y2);

switch (s)

{case ‘+’:fenzi=x1*y1+x2*y2;fenmu=y1*y2;break;

case ‘-‘:fenzi=x1*y2-x2*y1;fenmu=y1*y2;break;

case ‘*’:fenzi=x1*x2;fenmu=y1*y2;break;

case ‘/’:fenzi=x1*y2;fenmu=y1*x2;break;}

a=fenzi;b=fenmu;

a*=(a>=0)?1:-1; //此行不能省略

b*=(b>=0)?1:-1; //此行不能省略 为什么？

while (b>0) //欧几里德法寻找最大公
约数
{c=a%b;a=b;b=c;} //

fenzi/=a;fenmu/=a; //

if (fenmu==1||fenzi==0) printf(“%d/%d %c %d/%d = %d\n”,x1,y1,s,x2,y2,fenzi);//要是能避免判定就好了

else printf(“%d/%d %c %d/%d = %d/%d\n”,x1,y1,s,x2,y2,fenzi,fenmu);

} //goto什么的最讨厌了

英文读法/分数

分数、小数和百分比的读法；分数中分子用
基数词表示、分母用序数词表示。先读分子，后读分母。当分子大于1时，分母要加“s”。例如

1/2读作：a/one half(口语中更倾向于用“a”代替“one”)

1/3读作：a/one third

1/8读作：an/one eighth

1/4读作：a/one quarter(fourth)

2/3读作：two thirds

1又5/9读作one and five ninths

比较复杂的分数常常用over这个词表示。如：

317/509读作：three hundred and seventeen over five hundred and nine

3/4hour，7/lOmile则说three quarters of an hour(三刻钟)，seven tenths of a mile(十分之七英里)。

其他含义/分数

也可以代表其他
领域所得得分。举例：考试分数或成绩。