定义

内点

若 S 为欧几里德空间的子集，则 x 是 S 的内点，若存在以 x 为中心的开球被包含于 S。

这个定义可以推广到度量空间 X 的任意子集 S。具体地说，对具有度量 d 的度量空间 X，x 是 S 的内点，若对任意 r > 0，存在 y 属于 S，且 d(x, y) < r。

这个定义也可以推广到拓扑空间，只需要用邻域替代“开球”。 设 S 是拓扑空间 X 的子集，则 x 是 S 的内点，若存在 x 邻域被包含于 S。注意，这个定义并不要求邻域是开的。

集合的内部

集合 S 的内部是 S 的所有内点组成的集合。S 的内部写作 int(S)、Int(S) 或 S int(S) 是 S 的开子集。

int(S) 是所有包含于 S 的开集的并集。

int(S) 是包含于 S 的最大的开集。

集合 S 是开集，当且仅当 S = int(S)。

int(int(S)) = int(S)。（幂等）

若 S 为 T 的子集，则 int(S) 是 int(T) 的子集。

若 A 为开集，则 A 是 S 的子集，当且仅当 A 是 int(S) 的子集。

有时候，上述第二或第三条性质会被作为拓扑内部的定义。

举例

在任意空间，空集的内部是空集。

对任意空间 X, int(X) = X.

若 X 为实数的欧几里德空间 R，则 int([0, 1]) = (0, 1)。

若 X 为实数的欧几里德空间 R，则有理数集合 Q 的内部是空集。

若 X 为复平面 C = R 在任意欧几里德空间，任意有限集合的内部是空集。

在实数集上，除了标准拓扑，还可以使用其他的拓扑结构。

若 X = R，且 R 有下限拓扑，则 int([0, 1]) = [0, 1)。

若考虑 R 中所有集合都是开集的拓扑，则 int([0, 1]) = [0, 1]。

若考虑 R 中只有空集和 R 自身是开集的拓扑，则 int([0, 1]) 是空集。

上述示例中集合的内部取决于背景空间的拓扑。接下来给出的两个示例比较特殊。

在任意离散空间中，由于所有集合都是开集，所以所有集合都等于其内部。

在任意不可分空间 X 中，由于只有空集和 X 自身是开集，所以 int(X) = X 且对 X 的所有真子集 A，int(A) 是空集。

内部算子

S 还有

S 这里的 X 是包含S 的拓扑空间，反斜杠指示补集。

因此，通过把集合替代为它的补集，闭包算子和库拉托夫斯基闭包公理的抽象理论可以轻易的转换到使用内部算子的语言中。